Beweis, dass Matrizen keine Basis bilden

Question

Liebe Community!

Folgende Aufgabe bekomme ich nicht vernünftig gelöst:

Sei \( A \in \operatorname{Mat}_{m}(\mathbb{C}) \) beliebig, mit \( m \geq 2 \). Zeigen Sie, dass die Matrizen \( I, A, A^{2}, \ldots, A^{m^{2}-1} \) keine Basis von Mat \( _{m}(\mathbb{C}) \) bilden.

Ich würde hier über das Zerfallen des charakteristischen Polynoms, dann über das Nullsetzen des Polynoms nach dem Satz von Cayley Hamilton und am Ende über die lineare Abhängigkeit von mindestens 2 Matrizen argumentieren. Kann das so funktionieren oder bin hier auf einem Irrweg?

Vielen Dank im Voraus für Eure Hilfe!

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Vom Duplikat:

Titel: Können die Potenzen einer Matrix eine Basis für die quadratischen Matrizen bilden?

Stichworte: matrix,basis,potenzen

Die Aufgabe lautet wie folgt:

Ich habe dazu leider gar keinen Ansatz mit meinen Studienkollegen gefunden.

Kann uns da wer auf die Sprünge helfen?

LG

Answer 1

wurde kürzlich beantwortet:

https://www.mathelounge.de/828912/konnen-potenzen-einer-matrix-quadratischen-matrizen-bilden

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Oje da ist mir ein Kollege schon zuvor gekommen, vielen Dank für den Hinweis.

Answer 2

Satz von Cayley-Hamilton: Jede quadratische Matrix ist Nullstelle

ihres char. Polynoms. Das hat aber Grad m, also sind mehr

als m Potenzen von A linear abhängig, und bilden demnach keine

Basis von Mat_m(C).

Comments

Hallo,

Erstmals danke für die schnelle Antwort.

Könnten Sie vielleicht noch ausführen, wieso mehr als m Potenzen von A lin. abhängig sein müssen?

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Es sei \(p(X)=\sum \limits_{k=0}^{n} a_kX^k\) mit n≤m das Minimalpolynom.

Dann ist p(A) = 0 , also eine nichttriviale Darstellung

der 0 mit den Potenzen von A⁰ bis Aⁿ, diese sind also lin. abh.

siehe auch https://www.biancahoegel.de/axiome/satz_cayley_hamilton.html#:~:text=Die%20Potenzen%20einer%20quadratischen%20Matrix%20spannen%20einen%20Untervektorraum,Matrix%20f%C3%BCr%20Exponenten%20kleiner%20als%20die%20Zeilenzahl%20darstellbar.

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Danke für die Hilfe, jetzt hab ichs verstanden :)

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@ mathef:

Hallo,

ich wollte die Frage mit dem Verweis auf Deine Lösung "erledigen". Jetzt habe ich Punkte bekommen, die Du verdient hast. Sorry

Gruß Mathhilf