Funktion in Potenzreihe umwandeln

Question

Aufgabe:

Die Funktion f bei x0 mit Hilfe der geometrischen Reihe in eine Potenzreihe umwandeln + Konvergenzintervall berechnen.

f: y= 1/(1-x)

x0 = 0

Kann jemand hier bitte weiterhelfen?

Danke :)

Answer 1

Aloha :)

Wir betrachten folgende Summe:$$S_n\coloneqq\sum\limits_{k=0}^n x^k=1+x+x^2+x^3+\cdots+x^n$$Wenn wir diese Summe mit $x$ multiplizieren, bekommen wir:$$x\cdot S_n=x\sum\limits_{k=0}^n x^k=\sum\limits_{k=0}^n x^{k+1}=\sum\limits_{k=1}^{n+1}x^k=\sum\limits_{k=1}^{n}x^k+x^{n+1}$$Das Produkt $x\cdot S_n$ sieht der Summe $S_n$ schon sehr ähnlich. Wir bilden die Differenz von beiden und schauen, was übrig bleibt:$$S_n-x\cdot S_n=\sum\limits_{k=0}^{n}x^k-\left(\sum\limits_{k=1}^{n}x^k+x^{n+1}\right)=\left(x^0+\sum\limits_{k=1}^{n}x^k\right)-\left(\sum\limits_{k=1}^{n}x^k+x^{n+1}\right)$$Die beiden Summen heben sich gegenseitig weg, übrig bleibt aus der ersten Klammer $x^0=1$ und aus der zweiten Klammer $x^{n+1}$. Das heißt:$$S_n\cdot(1-x)=1-x^{n+1}\quad\stackrel{(x\ne1)}{\implies}\quad S_n=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}$$Falls $|x|<1$ ist, konvergiert im Zähler $x^{n+1}$ für $n\to\infty$ gegen $0$, das heißt:$$\sum\limits_{k=0}^\infty x^k=\frac{1}{1-x}\quad\text{für}\quad |x|<1$$Das ist die Summenformel der unendlichen geometrischen Reihe. Die ist oft sehr nützlich.

Comments

Hallo Tschaka.

musst du wirklich immer jede Eigenleistung verhindern? offensichtlich kannte der Frager ja die geometrische Reihe.

lul

Answer 2

Hallo

kennst du denn die geometrische Reihe und ihre Summe für n gegen oo

dann steht die gesuchte Reihe schon da! und den Konvergenzradius kennst du auch.

Gruß lul

Comments

Ich stehe grad auf dem Schlauch....

Geometrische Reihe ist dich 1/(1-q) oder? Aber wie soll ich jetzt weiterrechnen?

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Geometrische Reihe ist dich 1/(1-q) oder?

Ja. Das ist die Summe 1+q+q²+q³+...

Wie wird sich dann wohl 1/(1-x) in Form so einer Summe schreiben lassen?

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1+x+x²+x³... oder?

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Hallo

ja, kannst du das auch mit Summenzeichen schreiben? und weisst du für welche x es konvergiert ? leider darfst du es nicht mehr selbst rauskriegen, weil Tschakabumba dir alles aufgeschrieben hat, dabei konntest du es ja eigentlich. Schade!

Gruß lul