Aloha :)
Wir betrachten folgende Summe:$$S_n\coloneqq\sum\limits_{k=0}^n x^k=1+x+x^2+x^3+\cdots+x^n$$Wenn wir diese Summe mit \(x\) multiplizieren, bekommen wir:$$x\cdot S_n=x\sum\limits_{k=0}^n x^k=\sum\limits_{k=0}^n x^{k+1}=\sum\limits_{k=1}^{n+1}x^k=\sum\limits_{k=1}^{n}x^k+x^{n+1}$$Das Produkt \(x\cdot S_n\) sieht der Summe \(S_n\) schon sehr ähnlich. Wir bilden die Differenz von beiden und schauen, was übrig bleibt:$$S_n-x\cdot S_n=\sum\limits_{k=0}^{n}x^k-\left(\sum\limits_{k=1}^{n}x^k+x^{n+1}\right)=\left(x^0+\sum\limits_{k=1}^{n}x^k\right)-\left(\sum\limits_{k=1}^{n}x^k+x^{n+1}\right)$$Die beiden Summen heben sich gegenseitig weg, übrig bleibt aus der ersten Klammer \(x^0=1\) und aus der zweiten Klammer \(x^{n+1}\). Das heißt:$$S_n\cdot(1-x)=1-x^{n+1}\quad\stackrel{(x\ne1)}{\implies}\quad S_n=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}$$Falls \(|x|<1\) ist, konvergiert im Zähler \(x^{n+1}\) für \(n\to\infty\) gegen \(0\), das heißt:$$\sum\limits_{k=0}^\infty x^k=\frac{1}{1-x}\quad\text{für}\quad |x|<1$$Das ist die Summenformel der unendlichen geometrischen Reihe. Die ist oft sehr nützlich.
