Aloha :)
Schreibe die Parabeln mit Hilfe der quadratischen Ergänzung um. Diese findest du, indem du die Zahl vor dem \(x\) halbierst und anschließend quadrierst.
$$\text{a)}\quad y=x^2-4x-5$$Quadratische Ergänzung: \(\left(\frac{-4}{2}\right)^2=4\).$$y=x^2-4x\,\underbrace{+4-9}_{=-5}=(x^2-4x+4)-9=(x-2)^2-9\implies S(2|-9)$$
$$\text{d)}\quad y=x^2+8x+7$$Quadratische Ergänzung: \(\left(\frac{8}{2}\right)^2=16\).$$y=x^2+8x\,\underbrace{+16-9}_{=+7}=(x^2+8x+16)-9=(x+4)^2-9\implies S(-4|-9)$$
$$\text{b)}\quad y=x^2-6x+5$$Quadratische Ergänzung: \(\left(\frac{-6}{2}\right)^2=9\).$$y=x^2-6x\,\underbrace{+9-4}_{=+5}=(x^2-6x+9)-4=(x-3)^2-4\implies S(3|-4)$$
$$\text{e)}\quad y=x^2+3x+4$$Quadratische Ergänzung: \(\left(\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9}{4}\).$$y=x^2+3x\,\underbrace{+\frac{9}{4}+\frac{7}{4}}_{=+4}=\left(x^2+3x+\frac{9}{4}\right)+\frac{7}{4}=\left(x+\frac{3}{2}\right)^2+\frac{7}{4}\implies S\left(-\frac{3}{2}\bigg|\frac{7}{4}\right)$$
$$\text{c)}\quad y=x^2-5x+5$$Quadratische Ergänzung: \(\left(\frac{-5}{2}\right)^2=\frac{25}{4}\).$$y=x^2-5x\,\underbrace{+\frac{25}{4}-\frac{5}{4}}_{=+5}=\left(x^2-5x+\frac{25}{4}\right)-\frac{5}{4}=\left(x-\frac{5}{2}\right)^2-\frac{5}{4}\implies S\left(\frac{5}{2}\bigg|-\frac{5}{4}\right)$$
$$\text{i)}\quad y=x^2-2x$$Quadratische Ergänzung: \(\left(\frac{-2}{2}\right)^2=1\).$$y=x^2-2x\,\underbrace{+1-1}_{=0}=(x^2-2x+1)-1=(x-1)^2+1\implies S(1|1)$$
Anhand der Koordinaten der Scheitelpunkt \(S\) erkennst du, wie weit eine Normal-Parabel in \(x\)- und in \(y\)-Richtung verschoben werden muss. \(S(2|-9)\) bedeutet Verschiebung in \(x\)-Richtung um \(2\) und Verschiebung in \(y\)-Richtung um \((-9)\).
Links vom Scheitelpunkt fällt die Parabel, hat im Scheitelpunkt ihr Minimum und steigt rechts vom Scheitelpunkt wieder an.
