Suche Mathematischen Ausdruck (von Gerade)

Question

Gegeben haben wir drei Axiome:

Axiome der Inzidenz:
I1 – Durch je zwei verschiedene Punkte geht eine und nur eine Gerade.

I2 – Auf jeder Geraden liegen mindestens zwei Punkte.

I3 – Es existieren drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen.

Eine Menge \( \mathbb{U}=\left\{P_{1}, P_{2}, P_{3}, P_{4}\right\} \)

Und eine Menge von geraden:

\( \mathbb{G}_{1}:=\left\{\left\{P_{2}, P_{1}\right\},\left\{P_{2}, P_{3}\right\},\left\{P_{4}, P_{2}\right\},\left\{P_{1}, P_{3}\right\},\left\{P_{3}, P_{4}\right\},\left\{P_{4}, P_{1}\right\}\right\} \)

Jetzt soll ich überprüfen, welche der drei Axiome für (U,G1) erfüllt sind.

Mein Plan:

Axiom eins ist erfüllt (Weil alle Punkte der verschiedenen Geraden verscheiden sind)

Axiom zwei ist erfüllt (Jede der gerade besteht aus Zwei Punkten)

Axiom drei ist erfüllt (Da wir 4 Punkt haben, aber jede Gerade aus nur 2 Punkten besteht, gibt es noch zwei andere Punkte, welche nicht auf der Gerade liegen)

Mit meinen Begründungen bin ich soweit zufrieden, aber wie kann ich das Mathematisch ausdrücken?

Comments

Keiner einen Tipp?

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Keiner einen Tipp?

nur in soweit, dass Prosa im Grunde genügt. Und das hast Du bereits getan.

Answer 1

Axiom eins ist erfüllt (Weil alle Punkte der verschiedenen Geraden verscheiden sind)

Nein. Axiom I1 verbietet nicht, dass \(\{P_1, P_1\}\) eine Gerade ist.

Axiom I1 ist erfüllt, weil wenn du aus \(\mathbb{U}\) zwei verschiedene Punkte \(P\) und \(Q\) auswählst, es genau ein \(G\in\mathbb{G}_1\) gibt, so dass \(\{P,Q\}\subseteq G\) ist.

Axiom I2 verbietet, dass \(\{P_1, P_1\}\) eine Gerade ist.

Axiom zwei ist erfüllt (Jede der gerade besteht aus Zwei Punkten)

Ungenau. Besser: Jede der Geraden besteht aus mindestens zwei Punkten.

Laut Axiom I2 könnte aber auch \(\{P_1,P_2,P_3\}\) eine Gerade sein.

Axiom drei ist erfüllt (Da wir 4 Punkt haben, aber jede Gerade aus nur 2 Punkten besteht, gibt es noch zwei andere Punkte, welche nicht auf der Gerade liegen)

Stimmt soweit.

Existenzaussagen begründet man oft am einfachsten dadurch, dass man ein konkretes Beispiel angibt: Es ist \(\{P_1, P_2, P_3\}\subseteq\mathbb{U}\), aber es gibt kein \(G\in\mathbb{G}_1\) mit \(\{P_1,P_2,P_3\}\subseteq G\).

wie kann ich das Mathematisch ausdrücken?

Es ist ein Irrglaube, Prosa wäre nicht mathematisch und man müsse Alles mittels mathematischer Symbole ausdrücken.