Bestimmen Sie eine Matrix M, so dass MA = B ist.

Question

Aufgabe:

Sei$$A = \begin{pmatrix}-1& 4& -4\\ 1& -3& 1\\ 1& -2& 0\end{pmatrix}\quad \in M_{3\times 3} \space (\mathbb R)$$

Bestimmen Sie eine Matrix \(M\), so dass \(MA = B\) ist.$$B = \begin{pmatrix}2& 1& 4\\ 0& 0& -7\\ 4& 5& 3\end{pmatrix}$$

Problem/Ansatz:

Ich bin momentan ratlos, wie ich anfangen soll. Muss ich A zunächst auf Treppennormalform bringen?

Ich schreibe hier das erste Mal, seht mir bitte nach, dass ich die Klammern um die Matrizen nicht abgebildet habe. Ich kümmere mich darum für den nächsten Beitrag. :-)

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Nun hat es klick gemacht. Vielen Dank!

Answer 1

Hallo,

Willkommen in der Mathelounge!

Rein formal ist$$M \cdot A = B \implies M = B \cdot A^{-1}$$\(A^{-1}\) ist die Inverse von \(A\). Das kann man selber rechnen oder rechnen lassen (z.B. mit Excel oder Wolfram Alpha). Die Frage ist aber: wie berechnet man \(M\) (zu Fuß!) ohne den Umweg über die Inverse?

Dazu stelle ich die Gleichung um:$$M \cdot A = B \\ A^T \cdot M^T = B^T$$das \(A^T\) ist die Transponierte von \(A\). Nun hat man da drei lineare Gleichheitssystem in der Form \(A \cdot x_i = b_i\) stehen. Die \(x_i\) sind die drei Spalten von \(M^T\) und die drei 'rechten' Seiten \(b_i\) ergeben sich aus den drei Spalten von \(B^T\). Und das kann man in einem Rutsch(!) mit dem Gauß-Verfahren lösen:$$\begin{array}{ccc|}&A^T& & &B^T\\\hline-1& 1& 1& 2& 0& 4\\ 4& -3& -2& 1& 0& 5\\ -4& 1& 0& 4& -7& 3\end{array}$$Es gilt die linke Seite zur Einheitsmatrix zu machen. Dividiere dazu die erste Gleichung mit \(-1\) und ziehe ein Vielfaches davon von der zweiten und dritten Zeile ab:$$\begin{array}{ccc|}1& -1& -1& -2& 0& -4\\ 0& 1& 2& 9& 0& 21\\ 0& -3& -4& -4& -7& -13\end{array}$$Jetzt das dreifache der zweiten zur dritten addieren und das einfache zur ersten Zeile:$$\begin{array}{ccc|}1& 0& 1& 7& 0& 17\\ 0& 1& 2& 9& 0& 21\\ 0& 0& 2& 23& -7& 50\end{array}$$Die dritte Zeile durch 2 dividieren und entsprechend von den anderen beiden abziehen:$$\begin{array}{ccc|}1& 0& 0& -4.5& 3.5& -8\\ 0& 1& 0& -14& 7& -29\\ 0& 0& 1& 11.5& -3.5& 25\end{array}$$Links steht nun die Einheitsmatrix und rechts das (transponierte!) Ergebnis. Also ist$$M = \begin{pmatrix}-4.5& -14& 11.5\\ 3.5& 7& -3.5\\ -8& -29& 25\end{pmatrix}$$

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Danke für die Hilfe! Nun hat es geklickt :-)

Answer 2

A^-1=\( \begin{pmatrix} 1 & 4 & -4\\\frac{1}{2} & 2 & -\frac{5}{2}\\ \frac{1}{2} & 3 & -\frac{7}{2} \end{pmatrix} \).

M=B·A^-1.