Zeigen Sie, dass \mathcal{K} eine Topologie ist.

Question

Text erkannt:

Es sei \( X \) eine nicht-leere Menge und \( \mathcal{K} \subset \mathcal{P}(X) \) sei definiert durch
\( \emptyset \in \mathcal{K} \)
\( U \subset X, X \backslash U \) ist abzählbar \( \Rightarrow U \in \mathcal{K} \)
1. Zeigen Sie, dass \( \mathcal{K} \) eine Topologie ist.
2. Finden Sie notwendige und hinreichende Bedingungen an \( X \), so dass \( (X, \mathcal{K}) \) ein Hausdorff-Raum ist. Begründen Sie Ihre Antwort.

Comments

Hallo,

wo hast Du Probleme? Wie sieht es bei 1) aus?

Gruß Mathhilf

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mir ist nicht klar was mir die zweite information bringt um zu zeigen das k eine topologie ist

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Das "bringt" Dir nichts. Das ist eine Einschränkung. Nicht alle Teilmengen von X gehören zu K, sondern nur die, deren Komplement abzählbar ist.

Wie sieht es denn zum Beispiel aus, wenn eine Familie, sagen wir \(U_i, i \in I\) zu K gehört. Gehört dann auch die Vereinigung zum K?

Gruß Mathhilf