0 Daumen
698 Aufrufe

Guten Morgen Leute,

ich habe paar Aufgaben zu Primzahlen und verstehe nicht so ganz einige Aufgaben:


Sind zwei natürliche Zahlen p und p + 2 prim, so wird das Paar (p, p + 2) ein Primzahlzwilling genannt. Zum Beispiel ist (101, 103) ein Primzahlzwilling.
(a) Hat jeder Primzahlzwilling die Form (6n − 1, 6n + 1) für eine natürliche Zahl n?
(b) Ist jedes Paar von Zahlen (6n − 1, 6n + 1) mit einer natülichen Zahl n ein Primzahlzwill-
ing?
(c) Geben Sie einen Algorithmus an, der für jede natürliche Zahl ℕ alle Primzahlzwillinge
(p, p + 2) mit p + 2 ≤ N auflistet. Bestimmen Sie damit alle Primzahlzwillinge unter 200.
(d) Zeigen Sie, dass es kein Tripel von Primzahlen der Form (p, p + 2, p + 4) mit p > 3 gibt.
Hinweis: Untersuchen Sie hierzu die Teilbarkeit durch 3.


Meine Ideen:

Also bei a) habe ich mir gedacht, dass ich p=6n-1 und p+2=6n+1 setze habe dann allerdings bei der Gleichung p+2=6n+1 ⇔P=6n-1 also wie die erste Gleichung, liege ich richtig oder völlig daneben ?

b) da habe ich einfach mal natürliche Zahlen eingesetzt und da kommen tatsächlich nur Primzahlen raus und sind paarweise auch Primzahlzwillinge,aber wie könnte ich sowas Beweisen oder kann man das ?

c) hier bin ich leider mehrmals gescheitert, brauche hier dringend Hilfe.

d) da p > 3 gilt die Teilbarkeitsregel nicht bei den Primzahlen da zb für p=3, dass 3 die 5 teilt(p+2)

Aber formal beweisen kann ich das nicht. Da brauche ich echt mal ordentliche Tipps


Ich bedanke mich im Voraus und würde m ich auf eine Antwort sehr freuen!


Liebe Grüße

Avatar von

4 Antworten

0 Daumen
b) da habe ich einfach mal natürliche Zahlen eingesetzt und da kommen tatsächlich nur Primzahlen raus und sind paarweise auch Primzahlzwillinge,...

Okay, dann mach das mal vor.

Avatar von 26 k

6*1 -1 =5 prim

6*2-1=11 prim

6*3-1= 17 prim

6*4-1 =23 prim

......


das selbe mit 6n+1

6*1+1=7 prim

6*2+1=13 prim

6*3+1 =19 prim


und man sieht, dass zb das Paar (5,7) oder (11,13 ) Primzahlzwillinge sind wegen (p,p+2)

6*4+1=... ?

Ja stimmt, doch keine Primzahl.

0 Daumen

a) Die Komponenten eines Primzahlzwillings sind weder durch 2 noch durch 3 teilbar, haben also die Form (6n − 1, 6n + 1) für eine natürliche Zahl n.

Avatar von 123 k 🚀

okay danke ! Aber warum noch durch 3 wegen der 6?

Sowohl 6n − 1 als auch 6n + 1 sind nicht durch 2 und auch nicht durch 3 teilbar.

0 Daumen

Hallo

ist  dir mal die Idee gekommen in wiki das Thema Primzahlzwilling nachzulesen?

was du zu a) schreibst ist recht sinnlos, du schreibst einfach , dass die 2 Zahlen eine Differenz von 1 haben, das gilt auch für 2n-1 und 2n+1 oder für 17n+1 und 17n-1

b) n=6  ergäbe  welche 2 Primzahlen

c) wie findes du alle Primzahlen unter n, da du nur 6k-1 und 6k+1 untersuchen musst?

d) benutze den Tip: angenommen p,p+2 nicht durch 3 tb

Gruß lul

Avatar von 106 k 🚀

a) Genau deswegen habe ich gefragt, ob ich völlig daneben liege, ist wohl war.

b) für n=6 habe ich dann (35,37) okay aber 35 ist keine Primzahl, dann sollte ich doch bisschen weiter rechnen.

c) d) okay ich starte dann mal


Danke !

0 Daumen

Hallo,

(a) Hat jeder Primzahlzwilling die Form (6n − 1, 6n + 1) für eine natürliche Zahl n?

Ein Gegenbeispiel ist (3, 5). Es ist aber auch das einzige Gegenbeispiel.

Betrachte die ungeraden Zahlen ab 5:

5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,...

Jede dritte Zahl ist durch 3 teilbar. Wenn ich die weglasse, erhalte ich:

5,7,  11,13,   17,19,   23,25,   ...

Das sind potentielle Kandidaten für Primzahlzwillinge. Es fällt auf, dass die Mittelwerte der Paare 6,12,18,24,..., also Vielfache von 6 sind. Damit haben die Primzahlzwillinge ab (5,7) die genannte Form.

(d) Zeigen Sie, dass es kein Tripel von Primzahlen der Form (p, p + 2, p + 4) mit p > 3 gibt.

Da p>3 ist, hat der Primzahlzwilling (p,p+2) die Form (6n-1,6n+1).

Dann ist p+4=6n+3=3*(2n+1) keine Primzahl.

:-)

(c) Geben Sie einen Algorithmus an, der für jede natürliche Zahl ℕ alle Primzahlzwillinge (p, p + 2) mit p + 2 ≤ N auflistet. Bestimmen Sie damit alle Primzahlzwillinge unter 200.

Mein selbst geschriebenes Python-Programm:

maxi=200
print('Primzahlen von 1 bis ',maxi)
primzahlen=[2,3] # Liste der Primzahlen
n=2  #Anzahl der gefundenen Primzahlen
zahl=5
delta=2
while zahl<=maxi:
istprim=True
for p in primzahlen:
    if zahl%p==0: # Rest bei Ganzzahldivision
      istprim=False
      break
    if p*p>zahl:
      break
if istprim==True:
  primzahlen.append(zahl) # Zahl zur Liste hinzufügen
  n=n+1
zahl=zahl+delta
delta=6-delta # abwechselnd 2 und 4
print('Es gibt ',n,' Primzahlen von 1 bis ',maxi)
print(primzahlen)
print('Primzahlzwillinge:')
i=0
for z in primzahlen:
if z+2 in primzahlen:
i=i+1
print(i,'-->',z,z+2)

:-)

Avatar von 47 k

Diese Teilaufgabe habe ich nicht so ganz verstanden leider.

Ich muss also den ggt von 6n-1 und 6n+1 berechnen ?

Ich weiß zwar wie man den ggt zweier Zahlen berechnet aber so in der allgemeinen Formel leider nicht.


Brauche hier doch noch Hilfe



Ist der ggT von 6n-1 und 6n+1 nicht immer gleich 1?

Ist der ggT von 6n-1 und 6n+1 nicht immer gleich 1?

Upps, stimmt ja. Mein Fehler.

Ich habe meine Antwort geändert.

:-)

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Ähnliche Fragen

0 Daumen
3 Antworten
+1 Daumen
3 Antworten
0 Daumen
0 Antworten
0 Daumen
1 Antwort

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community