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Aufgabe:

Stetigkeit einer Funktion

f1 : R2--> R , (x1,x2)t |--> (x12 * x21) / (x12+x22)2, falls x ungleich 0 und 0 falls x = 0


Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass an jedem Punkt abgesehen der 0 die Funktion stetig ist, da ja die Kompositionen von stetiger Funktionen wieder stetig sind.

Mein Problem liegt darin, wie ich in einem Beweistext zeige ob die Funktion auch bei x=0 stetig ist.


Kann mir da einer helfen? Eine Aufgabenstellung danach sollen wir das selbe zeigen nur für eine Funktion mit den selben Daten wobei im Zähler x1 einen Exponenten = 3 besitzt läuft das dann analog?

von

Sicher, dass es im Zähler x21 heißt?

oh du hast recht ich meine x22

❶  Die Funktion$$f_1\colon\mathbb R^2\to\mathbb R\text{ mit }\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}\mapsto\begin{cases}\dfrac{x_1^2\cdot x_2^2}{\left(x_1^2+x_2^2\right)^2}&\text{, falls }(x_1,x_2)\ne(0,0)\\0&,\text{ falls }(x_1,x_2)=(0,0)\end{cases}$$ist in \((0,0)\) wegen \(f_1\big((\frac1n,\frac1n)^t\big)=\frac14\) für alle \(n\in\mathbb N\) sicher nicht stetig.


❷  Die Funktion$$f_2\colon\mathbb R^2\to\mathbb R\text{ mit }\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}\mapsto\begin{cases}\dfrac{x_1^3\cdot x_2^2}{\left(x_1^2+x_2^2\right)^2}&\text{, falls }(x_1,x_2)\ne(0,0)\\0&,\text{ falls }(x_1,x_2)=(0,0)\end{cases}$$ist stetig, denn für alle \((x_1,x_2)\ne(0,0)\) gilt$$\qquad\quad\left(x_1^2+x_2^2\right)^2=\left(x_1^2-x_2^2\right)^2+4x_1^2\cdot x_2^2\ge x_1^2\cdot x_2^2$$$$\iff\frac{x_1^2\cdot x_2^2}{\left(x_1^2+x_2^2\right)^2}\le1$$$$\iff\frac{\lvert x_1\rvert\cdot x_1^2\cdot x_2^2}{\left(x_1^2+x_2^2\right)^2}\le\lvert x_1\rvert$$$$\iff\left\lvert f_2\big((x_1,x_2)^t\big)\right\rvert\le\lvert x_1\rvert.$$

Arsinoë, wie hast du die 1 und die 2 in den schwarzen Kreis geschrieben?

Unter https://www.key-shortcut.com/zeichentabellen/unicode-2000-2fff findest du jede Menge Zeichen, die du dort kopieren und hier einfügen kannst.

Was es nicht alles gibt! Ich danke dir.

könntest du mir nochmal zeigen, wieso beim f1 1/4 rauskommt, also ich kriege die rechnung dazu nicht hin :D aber bis hier hin schon mal vielen Dank

$$f_1\big((\tfrac1n,\tfrac1n)^t\big)=\frac{\left(\tfrac1n\right)^2\cdot\left(\tfrac1n\right)^2}{\left(\left(\tfrac1n\right)^2+\left(\tfrac1n\right)^2\right)^2}=\frac{\left(\frac1n\right)^4}{2^2\cdot\left(\frac1n\right)^4}=\frac14.$$

Vielen Dank!!!

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