Es seien X eine nichtleere Menge und * eine assoziative Verknüpfung auf X mit folgenden Eigenschaften. Zeigen Sie, dass

Question

$$\text{ Es seien X eine nichtleere Menge und }*\text{ eine assoziative Verknüpfung auf X mit den folgenden Eigenschaften. }$$
$$(i)\text{ Das Element } e\in X \text{ erfüllt } e*x=x \text{ für alle } x\in X$$
$$(ii)\text{ Zu jedem }x\in X\text{ existiert ein Element }x^{-1}\text{ mit }x^{-1}*x=e.$$
$$\text{ Zeigen Sie, dass }x*e=x\text{ für alle }x\in X\text{ und }x*x^{-1}=e.$$

Answer 1

Sei x∈X.  Zeige zuerst die 2. Eigenschaft: x*x^(-1)=e

Zu x^(-1) gibt es nach (ii) ein y mit y*x^(-1)=e  #.

==>   x*x^(-1) = e*( x*x^(-1))  wegen # also

      =( y*x^(-1))*( x*x^(-1))  wegen assoziativ

    = y*  ( ( x^(-1)* x ) *x^(-1)  )  wegen (ii)

       = y*  (  e * x^(-1)  )   wegen (i)

           = y*    x^(-1)    wegen #

         = e .   q.e.d

Und x*e=x ist dann einfach:

x*e   wegen (i)

= x * (x^(-1) * x )   assoziativ

= ( x * x^(-1)   ) * x  wegen des oben Bewiesenenen

=  e * x   wegen (i)

= x