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Guten morgen,

ich bräuchte bei einer Aufgabe hilfe.

 

Sei M eine Menge und * eine Verknüpfung auf M, sodass die folgenden Eigenschaften erfüllt sind:

- Es existiert ein neutrales Element.

- (a*b)*(c*d)=(a*c)*(b*d), für alle a,b,c,d∈M.

Zeigen Sie, dass * kommutativ und assoziativ ist.

 

Soll ich die Kommutativität hier mit dem neutralen Element beweisen, also zB.

a*e=e*a=a und dann mit b,c,d auch? Oder kann ich einfach sagen x∈M: x*e=e*x=e??

Komme da gerade echt nicht weiter.
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Ich würde hier zuerst die Assoziativität beweisen.

Seien x,y,z drei Elemente von M

Behauptung: (x*y)*z = x*(y*z)

Beweis: x*(y*z) = (x*e)*(y*z) =(gemäss Formel  (a*b)*(c*d)=(a*c)*(b*d)) = (x*y)*(e*z) = (x*y)*z qed Assoziativität.

 

Nun zur Kommutitivität:

Seien x,y Elemente von M

Behauptung x *y = y *x

Beweis: x*y = (e*x)*(y*e) = (gemäss Formel  (a*b)*(c*d)=(a*c)*(b*d)) = (e*y)*(x*e) = y * x. qed Kommutativität.

Anmerkung: Da Assoziativität bereits bewiesen ist, darf ich Klammern im ersten Schritt erfinden und im letzten Schritt wieder weglassen.

 

Beantwortet von 141 k
Hallo Lu,

 

benutzt du für die Umstellung (a*b)*(c*d) = (a*c)*(b*d) nicht schon die Annahme der Assoziativität? Das heißt, das gilt doch eigentlich nur, wenn die Verknüpfung * assoziativ ist, oder? (Woher kommt die Gleichheit denn sonst?)

 

Grüße

Fabienne

Das ist eine der Eigenschaften, die die Verknüpfung gemäss Text hat. Also eine Voraussetzung, die man im Beweis benutzen kann.

Das sieht man an der Einleitung: Sei…

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