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Aufgabe:

Man bestimme den Inhalt der Fläche, deren Begrenzungsfiguren durch folgende Gleichungen gegeben sind

y = 1/x², y=1, y=9, x= 0.


Ich frage mich vor allem, wie man mit 3 y Werten umgeht und wie man da die Fläche eingrenzt, um die Flächen zu berechnen.




Problem/Ansatz:

1/x² +1+9= 0

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f1(x) = 1/(x2)f2(x) = 1f3(x) = 9

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du sprichst von drei y-Werten, aber in deiner Aufgbenstellung steht als 3. Gerade x = 0

Sry, meinte diese Werte y = 1/x², y=1, y=9

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Hallo, "Du schon wieder ;-)"

Ich frage mich vor allem, wie man mit 3 y Werten umgeht und wie man da die Fläche eingrenzt, um die Flächen zu berechnen.

Die Devise lautet "Teile und herrsche" - hießt hier, die Fläche in handliche leicht zu berechnende Stücke zu unterteilen.

Du rechnest die Y-Werte zunächst mal in die X-Werte um. Den Zusammenhang gibt die Funktion y=1/x2y = 1/x^2 vory=1x=±1y=9x1,2=±13y = 1 \to x = \pm1 \\ y = 9 \to x_{1,2} = \pm \frac 13und das zeichne in den Graphen ein:

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f1(x) = 1/(x2)f2(x) = 1f3(x) = 9Zoom: x(-3…3) y(-1…11)x = 1x = 1/3x = -1x = -1/3


In der Mitte bleibt ein Rechteck mit der Fläche F1=923=6F_1 = 9 \cdot \frac 23 = 6 stehen. Und links und rechts kannst Du wie immer unter der Funktion integrierenF2=2x=1/311x2dxF2=2[1x]1/31=2(1(3))=4F_2 = 2 \int_{x=1/3}^1 \frac 1{x^2}\, \text dx \\ \phantom{F_2} = 2\left[ - \frac 1x\right]_{1/3}^1 = 2(- 1 - (-3)) = 4 Und weil y=1y=1 auch eine (untere) Grenze ist, müssen wir am Ende noch das Rechtecke F3=21=2F_3 = 2\cdot 1 = 2 wieder abziehen!

Die gesuchte Fläche FF ist also F=F1+F2F3=6+42=8F=F_1+F_2 -F_3= 6+4-2=8

Alternative: Bestimme die inverse Funktion y=1x2x=1yy = \frac 1{x^2} \to x = \frac 1{\sqrt y}und integriere von 1 bis 9 und multipliziere am Ende noch mit 2 um beide Flächen auf beiden Seiten der Y-Achse zu erfassenF=2y=191ydyF=2[2y]19=2(62)=8F = 2\int_{y=1}^9 \frac 1{\sqrt y}\, \text dy \\ \phantom{F} = 2[ 2 \sqrt y ]_1^9 = 2(6 - 2) = 8

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f1(x) = 1/√(x)f2(x) = -1/√(x)x = 1x = 9Zoom: x(-1…10) y(-3…5)


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... hat niemand bemerkt, dass ich in meiner Antwort die Fläche F3F_3 vergessen hatte? ich habe das korrigiert (s.o.)

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Text erkannt:

Schnittpunkte der beiden Parallelen mit f(x) f(x) bestimmen B(131) \rightarrow \rightarrow B\left(\frac{1}{3} \mid 1\right) und C(139) C\left(\frac{1}{3} \mid 9\right)
A1=013f(x)dx= A_{1}=\int \limits_{0}^{\frac{1}{3}} f(x) \cdot d x=\ldots
A2=131f(x)dx= A_{2}=\int \limits_{\frac{1}{3}}^{1} f(x) \cdot d x=\ldots
A3=011dx= A_{3}=\int \limits_{0}^{1} 1 \cdot d x=\ldots
Gesamtfläche: A1+A2A3 A_{1}+A_{2}-A_{3}

Unbenannt1.PNG

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