kommutierende Matrizen und Eigenwerte

Question

Aufgabe:

Es seien \(A,B\in \mathbb{R}^{n\times n}\) kommutierende Matrizen, das heißt, es gilt \(A\cdot B=B\cdot A\).

Dann gilt: Aus \(v\in E_{\lambda}(A)\) folgt \(B\cdot v\in E_{\lambda}(A)\).

Answer 1

Hallo :-)

Du musst hier nur etwas umformulieren. \(v\in E_{\lambda}(A)\) bedeutet doch, dass \(v\) Eigenvektor von \(A\) zu Eigenwert \(\lambda\) ist, d.h., es gilt \(A\cdot v=\lambda \cdot v\).

Nutze nun die Eigenschaft der kommutierenden Matrizen aus, um zu zeigen, dass \(B\cdot v\) Eigenvektor von \(A\) zum Eigenwert \(\lambda \) ist.

Comments

Also Kommutierende Matrizen sind einfach 2 gleiche Matrizen oder nicht

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Das funktioniert auch für zwei ungleiche Matrizen. Betrachte doch zb

\(A=\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}-2&3\\8&1\end{pmatrix}\)

\(A\cdot B=\begin{pmatrix}-4&6\\16&2\end{pmatrix}=B\cdot A\)

Aber das ist für die Behauptung nicht wichtig, wie deine Matrizen aussehen.

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Weiß nicht so wirklich was ich zu tun habe.

ABv = lambda Bv

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Das sollst du zeigen. Fange stattdessen so an:

\(A\cdot B\cdot v=B\cdot A\cdot v=...\)

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A*B*v = B*A*v

(A*v)*B = B*(A*v)

lambda*v*B = lambda*v*B

Also ist die Aussage richtig

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Nein. Gleichungen auf beiden Seiten umzuformen ist allgemein sehr riskant und führt gerne zu Fehlern. In der Schule ging das vielleicht noch, da man hauptsächlich mit linearen Termen gerechnet hat, die eindimensional waren. Du rechnest hier aber mit Matrizen!

Außerdem ist \(A\cdot B\cdot v=\underbrace{A\cdot v}_{\text{Spaltenvektor}}\cdot B\) falsch.

Es muss also lauten:

\(A\cdot (B\cdot v)=B\cdot A\cdot v=B\cdot (\underbrace{\lambda\cdot v}_{\text{Spaltenvektor}})=\lambda \cdot (B\cdot v)\).

Skalare darf man allgemein vertauschen, aber keine Matrizen und Vektoren.

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Dann ist die Folgerung richtig, wegen lambdaBv