Eigenwert 0 Rückschluss zur Matrix

Question

Aufgabe:

Es gibt eine invertierbare Matrix A∈R5×5 mit dem Eigenwert 0

Problem/Ansatz:

Was passiert überhaupt, wenn man EW 0 hat

Answer 1

Hallo :-)

Diese Behauptung ist falsch. Das kann man sogar allgemeiner ausweiten: Angenommen, es gäbe eine invertierbare Matrix \(A\in \mathbb{R}^{n\times n}\) mit Eigenwert \(0\). Dann ist mit zugehörigem Eigenvektor \(v\in \mathbb{R}^n\) auch

\(A\cdot v=0\cdot v=0\in \mathbb{R}^n\), d.h, es gilt \(v\in \operatorname{Ker}(A)\). Da \(v\neq 0\) ein Eigenvektor von \(A\) ist und \(v\in \operatorname{Ker}(A)\), ist also \(\operatorname{Ker}(A)\neq \{0\}\). Also ist \(\operatorname{rang}(A)<n \Leftrightarrow \det(A)=0\), sodass \(A\) nicht invertierbar ist. Das ist ein Widerspruch zur Annahme.