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(a) Berechnen Sie für \( p=1,2, \infty \) die \( p \) -Normen von
\( \left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 7 \\ 0 \end{array}\right), \quad\left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right), \quad\left(\begin{array}{c} 10 \\ 10 \\ 1 \end{array}\right) \)
(b) Geben Sie für \( p=1,2, \infty \) im Vektorraum
\( V=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x+2 y=0\right\} \)
jeweils alle Punkte \( v \) mit \( \|v\|_{p}=1 \) an.
(c) Geben Sie für \( p=2 \) und \( p=\infty \) im Kreis
\( V=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x^{2}+y^{2}=1\right\} \)
jeweils alle Punkte \( v \) mit \( \|v\|_{p}=1 \) an.

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Aloha :)

zu a) Die \(1\)-Norm ist die Summe der Beträge, die \(2\)-Norm ist die gewohnte Wurzel der summierten Quadrate und die \(\infty\)-Norm ist der maximale Betrag aller Koordinaten.

$$\left\|\left(\begin{array}{r}1\\-1\end{array}\right)\right\|_1=|1|+|-1|=2$$$$\left\|\left(\begin{array}{r}1\\-1\end{array}\right)\right\|_2=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt2$$$$\left\|\left(\begin{array}{r}1\\-1\end{array}\right)\right\|_\infty=1$$

$$\left\|\left(\begin{array}{r}7\\0\end{array}\right)\right\|_1=|7|+|0|=7$$$$\left\|\left(\begin{array}{r}7\\0\end{array}\right)\right\|_2=\sqrt{7^2+(-0)^2}=7$$$$\left\|\left(\begin{array}{r}7\\0\end{array}\right)\right\|_\infty=7$$

$$\left\|\left(\begin{array}{r}1\\-1\\1\end{array}\right)\right\|_1=|1|+|-1|+|1|=3$$$$\left\|\left(\begin{array}{r}1\\-1\\1\end{array}\right)\right\|_2=\sqrt{1^2+(-1)^2+1^2}=\sqrt3$$$$\left\|\left(\begin{array}{r}1\\-1\\1\end{array}\right)\right\|_\infty=1$$

$$\left\|\left(\begin{array}{r}10\\10\\1\end{array}\right)\right\|_1=|10|+|10|+|1|=21$$$$\left\|\left(\begin{array}{r}10\\10\\1\end{array}\right)\right\|_2=\sqrt{10^2+10^2+1^2}=\sqrt{201}$$$$\left\|\left(\begin{array}{r}10\\10\\1\end{array}\right)\right\|_\infty=10$$

Die anderen Aufgabenteile wurden bereits in einer anderen Frage gestellt und beantwortet:

https://www.mathelounge.de/836227/vektorraum-p-normen-brechnen?show=836369#a836369

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