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(b) Geben Sie für \( p=1,2, \infty \) im Vektorraum
\( V=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x+2 y=0\right\} \)
jeweils alle Punkte \( v \) mit \( \|v\|_{p}=1 \) an.
(c) Geben Sie für \( p=2 \) und \( p=\infty \) im Kreis
\( V=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x^{2}+y^{2}=1\right\} \)
jeweils alle Punkte \( v \) mit \( \|v\|_{p}=1 \) an.

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Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

zu b) \(V=\left\{(x;y)\in\mathbb R^2\,\big|\,x+2y=0\right\}\)

Hier kannst du alle Punkte durch die Koordinate \(y\) ausdrücken, denn \(x=-2y\):

$$1\stackrel!=\left\|\left(\begin{array}{r}x\\y\end{array}\right)\right\|_1=\left\|\left(\begin{array}{r}-2y\\y\end{array}\right)\right\|_1=|-2y|+|y|=3|y|\implies |y|=\frac{1}{3}$$Diese Bedingung erfüllen also 2 Punkte:$$\left(-\frac{2}{3}\bigg|\frac{1}{3}\right)\quad;\quad\left(\frac{2}{3}\bigg|-\frac{1}{3}\right)$$

$$1\stackrel!=\left\|\left(\begin{array}{r}x\\y\end{array}\right)\right\|_2=\left\|\left(\begin{array}{r}-2y\\y\end{array}\right)\right\|_2=\sqrt{4y^2+y^2}=\sqrt5|y|\implies |y|=\frac{1}{\sqrt5}$$Diese Bedingung erfüllen also 2 Punkte:$$\left(-\frac{2}{\sqrt5}\bigg|\frac{1}{\sqrt5}\right)\quad;\quad\left(\frac{2}{\sqrt5}\bigg|-\frac{1}{\sqrt5}\right)$$

$$1\stackrel!=\left\|\left(\begin{array}{r}x\\y\end{array}\right)\right\|_\infty=\left\|\left(\begin{array}{r}-2y\\y\end{array}\right)\right\|_\infty=|-2y|=2|y|\implies |y|=\frac{1}{2}$$Diese Bedingung erfüllen also 2 Punkte:$$\left(-1\bigg|\frac{1}{2}\right)\quad;\quad\left(1\bigg|-\frac{1}{2}\right)$$

zu c) \(V=\left\{(x;y)\in\mathbb R^2\,\big|\,x^2+y^2=1\right\}\)

Hier parametrisieren wir mit \(|y|=\sqrt{1-x^2}\) und \(x\in[-1|1]\):

$$1\stackrel!=\left\|\left(\begin{array}{r}x\\y\end{array}\right)\right\|_1=|x|+|y|=|x|+\left|\sqrt{1-x^2}\right|\implies x\in\{-1,0,+1\}$$Diese Bedingung erfüllen 4 Punkte:$$\left(-1|0\right)\quad;\quad\left(0|-1\right)\quad;\quad\left(0|+1\right)\quad;\quad\left(+1|0\right)$$

$$1\stackrel!=\left\|\left(\begin{array}{r}x\\y\end{array}\right)\right\|_2=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{x^2+1-x^2}=1\implies x\in[-1|1]$$Diese Bedingung erfüllen alle Punkte aus \(V\).

$$1\stackrel!=\left\|\left(\begin{array}{r}x\\y\end{array}\right)\right\|_\infty=\operatorname{max}\{|x|,|y|\}$$Diese Bedingung erfüllen 4 Punkte:$$(-1|0)\quad;\quad(0|-1)\quad;\quad(0|+1)\quad;\quad(+1|0)$$

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Können Sie bitte das auch lösen ?


Berechnen Sie für \( p=1,2, \infty \) die \( p \) -Normen von

\( \left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 7 \\ 0 \end{array}\right), \quad\left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right), \quad\left(\begin{array}{c} 10 \\ 10 \\ 1 \end{array}\right) . \)

Schau mal bitte hier. Da hat jemand genau diese Vektoren auch nachgefragt:

https://www.mathelounge.de/836080/berechnen-sie-fur-p-1-2-infty-die-p-normen-von

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