Bezüglich welcher Metrik sind die drei Punkte kollinear

Question

Aufgabe: Überprüfen Sie, bezüglich welcher Metrik die drei Punkte kollinear sind.

Problem/Ansatz:

Es geht um eine Geometrie Aufgabe bei der ich leider nicht wirklich weiter komme.

Also in ℝ² sind drei Punkte angegeben: P1= (1,1) und P2=(2,2) und P3=(2,4)

Ich soll prüfen, bezüglich welcher Metrik d₂,d₁  und d∞ die drei Punkte kollinear sind.

Als Hinweis habe ich, dass auch die Umkehrung eines Lemmas gilt. Das Lemma lautet : Sind x,y,z kollinaer sind d(x,z) ≥d(x,y) , sowie d(x,z) ≥d(y,z), dann ist d(x,z)= d(x,y) + d(y,z).

Ich habe nichtmal wirklich einen Ansatz und mit dem Hinweis kann ich bisher auch nicht viel anfangen. Ich freue mich über jede Hilfe!

Aufgabe:

3. Metriken auf der Menge \( \mathbb{R}^{2} \) :
Bezeichne mit \( \mathbb{R}^{2} \) alle Paare \( (x, y) \) mit \( x, y \in \mathbb{R} . \) Seien \( P_{1}=\left(x_{1}, y_{1}\right), P_{2}=\left(x_{2}, y_{2}\right) \) zwei Punkte in \( \mathbb{R}^{2} . \) Dann betrachte folgende Metriken:
(a) Euklidische Metrik: \( \mathrm{d}_{2}\left(P_{1}, P_{2}\right)=\sqrt{\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}} \)
(b) Manhattan-Metrik: \( \mathrm{d}_{1}\left(P_{1}, P_{2}\right)=\left|x_{1}-x_{2}\right|+\left|y_{1}-y_{2}\right| \)
(c) Maximumsmetrik: \( \mathrm{d}_{\infty}\left(P_{1}, P_{2}\right)=\max \left\{\left|x_{1}-x_{2}\right|,\left|y_{1}-y_{2}\right|\right\} \)

Answer 1

Bin mir selber nicht sicher aber mein Ansatz war:

Habe in d1, d2,d∞ jeweils P1, P2 und P3 eingesetzt und ausgerechnet was für

d1(P1,P2), d1(P1,P2), d1(P2,P3)

d2(P1,P2), d2(P1,P2), d2(P2,P3)

d∞(P1,P2), d∞(P1,P2), d∞(P2,P3)

rauskommt.

Da vorgegeben ist, dass die Punkte kollinear sind wenn: d(x,z) ≥d(x,y) ,d(x,z) ≥d(y,z), dann ist d(x,z)= d(x,y) + d(y,z)

habe ich die jeweiligen Ergebnisse von d1, d2 und d3 einfach eingesetzt und geguckt, ob die Aussage wahr ist.

Hoffe das war verständlich, bin mir selber aber nicht zu 100 Prozent sicher, ob das der richtige Ansatz war.

Answer 2

Hallo

ich verstehe deine Schwierigkeiten nicht ganz, du kannst doch die Abstände der 3 Punkt  mit den 3 verschiedenen d einfach ausrechnen, und dann feststellen ob es dabei eine gibt mit d(x,z)= d(x,y) + d(y,z).

dass das  für die euklidische Norm nicht stimmt , siehst du offensichtlich direkt, also kommt nur eine der anderen in Betracht.

Gruß lul

Comments

Danke erstmal für die Antwort. Bei mir kommt jetzt raus, dass es bei d1 und d∞ stimmt. Oder habe ich mich jz irgendwo verrechnet ?