1/6 n(n+1)(4n-1)=61n(4n2+3n−1)
Induktionsanfang:
Für n=1:
k=0∑n−1(n+k)(n−k)=(1+0)(1−0)=1=61⋅1(4⋅12+3⋅1−1)
Induktionsschritt:
Es gelte
k=0∑n−1(n+k)(n−k)=61n(4n2+3n−1)
Gilt es auch für n+1?
k=0∑n(n+1+k)(n+1−k)=k=0∑n[(n+k)(n−k)+2n+1]=k=0∑n(n+k)(n−k)+k=0∑n(2n+1)=61⋅n(4n2+3n−1)+(n+1)(2n+1)...=61(n+1)(4(n+1)2+3(n+1)−1)
(n+1+k)(n+1-k)
=(n+k+1)(n-k+1)
=(n+k)(n-k)+n-k+n+k+1
=(n+k)(n-k)+2n+1