Lösen einer Ungleichung \sqrt[n]{n}-1\le \sqrt{\frac{2}{n}}

Question

Aufgabe:

$$\sqrt[n]{n}-1\le \sqrt{\frac{2}{n}}$$ für n ≥ 2.

Problem/Ansatz:

Ich brauche Hilfe, beim lösen dieser Ungleichung, hat vielleicht jemand eine Idee, wie man das lösen könnte?

Mfg

Comments

Soll die Ungleichung "gelöst werden", oder soll die Gültigkeit der Ungleichung für gewisse n BEWIESEN werden???

Answer 1

Aloha :)

Hier hilft uns der binomische Lehrsatz weiter:

$$\left(1+\sqrt{\frac{2}{n}}\right)^n=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}1^{n-k}\left(\sqrt{\frac{2}{n}}\right)^k=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}\left(\sqrt{\frac{2}{n}}\right)^k$$Für \(n\ge2\) können wir aus der Summe die Summanden mit \(k=0\) und \(k=2\) auswählen:

$$\left(1+\sqrt{\frac{2}{n}}\right)^n\ge\binom{n}{0}\left(\sqrt{\frac{2}{n}}\right)^0+\binom{n}{2}\left(\sqrt{\frac{2}{n}}\right)^2=1+\frac{\cancel n\cdot(n-1)}{\cancel 2}\cdot\frac{\cancel 2}{\cancel n}=n$$Auf beiden Seiten die \(n\)-te Wurzel gezogen liefert:$$1+\sqrt{\frac{2}{n}}\ge\sqrt[n]{n}\quad\text{bzw.}\quad\sqrt[n]{n}-1\le\sqrt{\frac{2}{n}}$$

Comments

Danke für die ausführliche Antwort den binomischen Lehrsatz muss ich unbedingt verinnerlichen.