Ungleichung lösen: (sqrt(lna) + sqrt(lnb))/2 <= sqrt(ln(sqrt(ab)))

Question

Aufgabe:

$$ \frac{\sqrt{lna}+\sqrt{lnb}}{2} \leq \sqrt{\ln\sqrt{ab}} \text{    mit a,b} \geq 1  $$

Problem/Ansatz:

Sitze gerade an dieser Aufgabe zur Klausurvorbereitung und ich stehe gerade etwas auf dem Schlauch diese Aufgabe zu lösen.

Answer 1

Aloha :)$$\left.\frac{\sqrt{\ln a}+\sqrt{\ln b}}{2}\le\sqrt{\ln\sqrt{ab}}=\sqrt{\frac{1}{2}\ln(ab)}=\sqrt{\frac{1}{2}\left(\ln a+\ln b\right)}\quad\right|\;\cdot2$$$$\left.\sqrt{\ln a}+\sqrt{\ln b}\le\sqrt{2\left(\ln a+\ln b\right)}\quad\right|\;\left(\cdots\right)^2$$$$\left.\ln a+\ln b+2\sqrt{\ln a\cdot\ln b}\le2\ln a+2\ln b\quad\right|\;-\ln a-\ln b-2\sqrt{\ln a\cdot\ln b}$$$$\left.0\le\ln a+\ln b-2\sqrt{\ln a\cdot\ln b}\quad\right|\;\text{2. binomische Formel}$$$$\left.0\le\left(\sqrt{\ln a}-\sqrt{\ln b}\right)^2\quad\right.$$Da eine Quadratzahl immer \(\ge 0\) ist, gilt die Behauptung für alle beliebigen \(a,b\ge1\).

Comments

Vielen dank für die ausführliche und gut nachvollziehbare Antwort!

Answer 2

Auf beiden Seiten quadrieren:

\( \frac{ln(a)+2\sqrt{ln(a)ln(b)}+ln(b)}{4} \) =ln((ab)^1/2)

\( \frac{ln(a)+2\sqrt{ln(a)ln(b)}+ln(b)}{4} \) =1/2·ln(ab)

\( \frac{ln(a)+2\sqrt{ln(a)ln(b)}+ln(b)}{4} \) =\( \frac{ln(a)}{2} \) +\( \frac{ln(b)}{2} \)   |·4

ln(a)+2\( \sqrt{ln(a)ln(b)} \) +ln(b)=2ln(a)+2ln(b)

Nach der Wurzel auflösen und nochmal quadrieren.