Ungleichung lösen n\geq 1+\frac{n(n-1)}{2}{c}_{n}^{2} für n>=2

Question

Aufgabe:

Sei (c_n) die Folge mit c_n:=$$\sqrt[n]{n}-1$$. Zeigen Sie, dass $$n\geq 1+\frac{n(n-1)}{2}{c}_{n}^{2}$$ für n ≥ 2.

Hinweis: Benutzen Sie (1 + c_n)ⁿ um, obige Abschätzung zu zeigen.

Problem/Ansatz:

Ich bleibe bei der Umformung immer hängen und ich weiß nicht wie ich den Hinweis benutzen soll, hat jemand vielleicht eine Idee, wie man auf die Lösung kommt?

Mfg

Answer 1

Aloha :)

Wir nutzen den binomischen Lehrsatz:$$n=\left(\sqrt[n]{n}\right)^n=\left((\sqrt[n]{n}-1)+1\right)^n=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}\left(\sqrt[n]{n}-1\right)^k\cdot1^{n-k}=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}\left(\sqrt[n]{n}-1\right)^k$$

Für \(n\ge2\) wählen wir aus der Summe die Summanden für \(k=0\) und für \(k=2\) aus und lassen alle übrigen weg:$$n\ge\binom{n}{0}\left(\sqrt[n]{n}-1\right)^0+\binom{n}{2}\left(\sqrt[n]{n}-1\right)^2=1+\frac{n}{2}\,\frac{n-1}{1}\left(\sqrt[n]{n}-1\right)^2\implies$$$$n\ge1+\frac{n(n-1)}{2}\cdot c_n^2\quad;\quad c_n=\sqrt[n]{n}-1$$

Comments

Wieder einmal danke, für die ausführliche Antwort.

Mfg