Hallöle
folgende Aufgabe wurde mir gestellt:
Seien a,b∈R≥1. Wir wollen zeigen dass der Grenzwert der Folge ((an+bn)n1)≥1 durch max({a,b}) gegeben ist. Dafu¨r gehen wir wie folgt vor : 1) Wir betrachten zuna¨chst die Folge (an1)n≥1. Weisen Sie mit Hilfe der Bernoullischen Ungleichung nach, dass die Ungleichungskette na−1≥an1−1≥0 fu¨r alle n≥1 gilt.2) Nutzen Sie das Sandwichkriterium, um aus Aufgabenteil (1) zu folgern, dassder Grenzwert der Folge (an1)n≥1 durch 1 gegeben ist.3) Begru¨nden Sie, dass (an+bn)n1≥max({a,b}) fu¨r jedes n≥1 ist.4) Zeigen Sie, dass (an+bn)n1≤2n1⋅max({a,b}) fu¨r alle n≥1 ist.5) Nutzen Sie nun die vorherigen Aufgabenteile, um das Ziel dieser Aufgabe zu erreichen.
Sitze jetzt schon Ewigkeiten an dieser Aufgabe und hänge tatsächlich noch immer an der 1), da ich nicht verstehe, wie ich die Bernoulische Ungleichung verwenden soll.
Vielen Dank im Voraus :)