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Hallöle

folgende Aufgabe wurde mir gestellt:

Seien a,bR1. Wir wollen zeigen dass der Grenzwert der Folge ((an+bn)1n)1 durch max({a,b}) gegeben ist. Dafu¨r gehen wir wie folgt vor : 1) Wir betrachten zuna¨chst die Folge (a1n)n1. Weisen Sie mit Hilfe der Bernoullischen Ungleichung nach, dass die Ungleichungskette a1na1n10 fu¨r alle n1 gilt.2) Nutzen Sie das Sandwichkriterium, um aus Aufgabenteil (1) zu folgern, dassder Grenzwert der Folge (a1n)n1 durch 1 gegeben ist.3) Begru¨nden Sie, dass (an+bn)1nmax({a,b}) fu¨r jedes n1 ist.4) Zeigen Sie, dass (an+bn)1n21nmax({a,b}) fu¨r alle n1 ist.5) Nutzen Sie nun die vorherigen Aufgabenteile, um das Ziel dieser Aufgabe zu erreichen.\text{Seien } a,b \in \mathbb{R}_{\geq 1} \text{. Wir wollen zeigen dass der Grenzwert der Folge } ((a^n+b^n)^\frac{1}{n})_{\geq 1} \\\text{ durch max(\{a,b\}) gegeben ist. Dafür gehen wir wie folgt vor:}\\\text{1) Wir betrachten zunächst die Folge } (a^\frac{1}{n})_{n \geq1}\text{.} \\\text{ Weisen Sie mit Hilfe der Bernoullischen Ungleichung nach, dass die Ungleichungskette }\\\frac{a-1}{n} \geq a^\frac{1}{n}-1 \geq 0 \text{ für alle } n \geq 1 \text{ gilt.}\\\text{2) Nutzen Sie das Sandwichkriterium, um aus Aufgabenteil (1) zu folgern, dass}\\\text{der Grenzwert der Folge } (a^\frac{1}{n})_{n \geq 1} \text{ durch 1 gegeben ist.}\\\text{3) Begründen Sie, dass } (a^n+b^n)^\frac{1}{n} \geq max(\{a,b\}) \text{ für jedes } n \geq 1 \text{ ist.}\\\text{4) Zeigen Sie, dass } (a^n+b^n)^\frac{1}{n} \leq 2^\frac{1}{n} \cdot max(\{a,b\}) \text{ für alle } n \geq 1 \text{ ist.}\\\text{5) Nutzen Sie nun die vorherigen Aufgabenteile, um das Ziel dieser Aufgabe zu erreichen.}


Sitze jetzt schon Ewigkeiten an dieser Aufgabe und hänge tatsächlich noch immer an der 1), da ich nicht verstehe, wie ich die Bernoulische Ungleichung verwenden soll.


Vielen Dank im Voraus :)

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Teil 1) ist etwas Trickserei:

a=(a1n)n=(1+(a1n1))nBernoulli1+n(a1n1)a = \left( a^{\frac1n}\right)^n = \left(1+ \left( a^{\frac1n}-1\right)\right)^n\stackrel{Bernoulli}{\geq} 1+n\left( a^{\frac1n}-1\right)

Jetzt nur noch umstellen.


Den Rest kann man einfacher machen, als vorgeschlagen.

Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir aba\geq b annehmen (andernfalls benennen wir die Zahlen einfach um). Damit ist also

max(a,b)=a\max(a,b) = a und insbesondere 1ba>01\geq\frac ba > 0.

Auf diese Weise erhalten wir sofort:

a(an+bn)1n=a(1+(ba)n)1na(1+1)1n=a21nnaa\leq (a^n+b^n)^{\frac 1n}= a\left(1+\left(\frac ba\right)^n\right)^{\frac 1n}\leq a(1+1)^{\frac 1n} = a\cdot 2^{\frac 1n}\stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow}a

Da max(a,b)=a\max(a,b) = a, ist damit alles gezeigt.

Avatar von 12 k

oder direkt nach der ersten Ungleichung mit (an+bn)1n(2an)1n=a21n (a^n+b^n)^\frac1n \leq (2a^n)^\frac1n = a\cdot 2^\frac1n

Stimmt. Das geht noch fixer.

Manchmal sieht man das Offensichtliche nicht. :-D

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