Bestimmen Sie fur die folgende Funktion die Menge aller Punkte, in denen sie stetig ist.

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie fur die folgende Funktion die Menge aller Punkte, in denen sie stetig ist.

Text erkannt:

\( g: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \)
\( g(x, y)=\left\{\begin{array}{cl}\left(x^{2}+y^{2}\right) \arctan \left(\frac{1}{x-y}\right) & \text { falls } x \neq y \\ 0 & \text { falls } x=y\end{array}\right. \)

Problem/Ansatz:

Ich weiss nicht wie ich mit x ungleich y eine unststiger Stelle machen soll

Comments

Für x≠y ist es überall stetig nach den üblichen Sätzen.

Interessant ist nur der Fall x=y.

Answer 1

Fange mal mit nem Beispiel an:

Betrachte etwa f in der Nähe vom Punkt ( 1+h , 1 ) :

( Für h gegen null geht ( 1+h , 1 ) ja gegen (1;1) mit f(1;1)=0 )

f( 1+h,1) = ( (1+h)^2 + 1^2 ) * arctan(1/h) = (2+2h+h^2)*arctan(1/h)

und für h gegen 0 geht der erste Faktor gegen 2 und der zweite ( 1/h → ∞ )

geht gegen pi/2 , also insgesamt Grenzwert pi und nicht f(1;1) = 0.

Also ist f unstetig bei (1;1).

Versuche das auf andere Punkte zu übertragen, insbesondere (0;0) .

Comments

Die Funktion geht doch unendlich weiter, woher soll man genau den Punkt treffen, wo die Funktion unstetig ist?

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Es geht ja nur um die von der Form (a;a).

Vielleicht ist es ja so:   stetig , wenn a=0 und für a≠0 unstetig ???