Vorweg: Ich bin kein Wirtschaftswissenschaftler.
Ich habe die Preisabsatzfunktion eines Produktes immer so verstanden, dass sie in Abhängigkeit vom Preis eines Produktes die Absatzmenge dieses Produktes liefert.
Die beiden Preisabsatzfunktionen:
X1 ( p1; p2 ) = 600 - 2 p1 - p2
bzw.
X2 ( p1; p2 ) = 3000 - 2 p1 - 40 p2
liefern demgemäß die Absatzmengen der Produkte X1 bzw. X2 in Abhängigkeit von den Preisen p1 und p2
Multipliziert man die Absatzmengen X1 bzw. X2 mit den Preisen p1 bzw. p2, so erhält man den Erlös (Umsatz). Demzufolge muss für die Erlösfunktion gelten:
E ( p1 ; p2 ) = X1 * p1 + X2 * p2
= ( 600 - 2 p1 - p2 ) * p1 + ( 3000 - 2 p1 - 40 p2 ) * p2
= 600 p1 - 2 p1 2 - p1 p2 + 3000 p2 - 2 p1 p2 - 40 p2 2
= 3000 + 600 p1 + 3000 p2 - 3 p1 p2 - 2 p12 - 40 p2 2
Die Kosten hängen von den Absatzmengen X1 und X2 ab, die wiederum durch die PAFs gegeben sind. Für die von den Preisen p1 und p2 abhängige Kostenfunktion K gilt also:
K ( p1 ; p2 ) = K ( X1 ( p1; p2 ) ; X2 ( p1; p2 ) )
= 14000 + 50* X1 ( p1; p2 ) + 8 X2 ( p1; p2 )
= 14000 + 50 ( 600 - 2 p1 - p2 ) + 8 * ( 3000 - 2 p1 - 40 p2 )
= 14000 + 30000 - 100 p1 - 50 p2 + 24000 - 16 p1 - 320 p2
= 68000 - 116 p1 - 370 p2
und somit für die Gewinnfunktion G:
G ( p1 ; p2 ) = E ( p1 ; p2 ) - K ( p1 ; p2 )
= 3000 + 600 p1 + 3000 p2 - 3 p1 p2 - 2 p1 2 - 40 p2 2 - 68000 + 116 p1 + 370 p2
= - 65000 + 716 p1 + 3370 p2 - 3 p1 p2 - 2 p1 2 - 40 p2 2
Von dieser Funktion der beiden Veränderlichen p1 und p2 soll das Maximum bestimmt werden, also setzt man zunächst die beiden ersten partiellen Ableitungen gleich Null und löst das so entstehende Gleichungssystem:
∂ G / ∂ p1 = 716 - 4 p1 - 3 p2 = 0
∂ G / ∂ p2 = 3370 - 3 p1 - 80 p2 = 0
Die Lösung ist:
p1 = 47170 / 311 ≈ 151,67
p2 = 11332 / 311 ≈ 36,44
Eine Überprüfung mit der Hesse-Matrix (Matrix der zweiten Ableitungen) ergibt, dass diese negativ definit ist. Folglich liegt an der Stelle ( p1 ; p2 ) = ( 151,67 ; 36,44 ) tatsächlich ein Maximum von G ( p1 ; p2 ) vor.
Der Wert des Maximums ist:
Gmax = G ( 151,67 ; 36,44 ) ≈ 50695,43
