Aufgabe:
Zum Zeitpunkt t = 0 beginnt ein Baum aus der Erde auszutreiben. Die Wachstumsgeschwindigkeit −0,1⋅t
dieses Baums wird für t ≥ 0 durch die Funktion f mit der Gleichung f (t) = 20 t⋅ e⋅ beschrieben.
Dabei gibt t die Zeit in Jahren an und f(t) die Wachstumsgeschwindigkeit des Baums in cm/Jahr. Der Wendepunkt des Graphen von f hat die Koordinaten W(20|f(20)), die Ableitungsfunktion f ' hat
−0,1⋅t −0,1⋅t dieGleichung f'(t)=20 e⋅ −2 t⋅e⋅ .
Der Graph von f ist im Material angegeben.
1.1 Berechnen Sie ohne Bezugnahme auf den Graphen unter Verwendung der gegebenen Ableitungsfunktion den Extrempunkt des Graphen von f und erläutern Sie die Bedeutung des
Extrempunkts im Sachzusammenhang.
1.2 Beschriften Sie im Material die Achsen mit einer geeigneten Skala und skizzieren Sie darin den
Verlauf des Graphen der Ableitungsfunktion f ' .
1.3 Beschreiben Sie den Verlauf des Graphen der Funktion f im Sachzusammenhang unter Einbeziehung des Wendepunkts.
2.1 Zeigen Sie, dass F mit F(t) = (t +10) (⋅ 2−00 e⋅−0,1⋅t ) +2000 eine Stammfunktion von f ist. 10
Berechnen Sie den Wert des Integrals ∫ f (t)dt und deuten Sie das Ergebnis im 0
Sachzusammenhang.
2.2 Erläutern Sie die folgende Zeile ohne Bezugnahme auf den Sachzusammenhang: b
∫ 20 ⋅ t ⋅ e−0,1⋅t dt = (b +10) · ( 2−00 · e−0,1⋅b ) 2+000 (− 2−000 · e0 + 2000) 0
(7 BE)
Strebt b gegen unendlich, so strebt der Wert des Integrals gegen 2000. Begründen Sie diesen Sachverhalt anhand des Terms auf der rechten Seite der gegebenen Gleichung.
Deuten Sie den Wert 2000 im Sachzusammenhang.
(6 B
Problem/Ansatz: Hilfe bitte!
