Zeigen von Monotonie und Konvergenz der Fibonacci-Folge

Question

Hallo in die Mathe Community,

ich stehe vor folgender Aufgabe und weiß leider nicht, wie ich diese löse. Ich hoffe ihr könnt mir helfen. Vielen Dank im voraus.

Die Aufgabenstellung lautet wie folgt:

Es ist eine Fibonacci-Folge mit: a0:= 1, a1:= 1 und an:= an−1 + an−2 für n > 1 gegeben.

-Es soll als erstes gezeigt werden, dass (an)n≥0 monoton wachsend ist und die gegebene Ungleichung \( 2^{\frac{n}{2}} \) ≤ an ≤ \( 2^{n} \) gilt. Es soll die Asymptotik der Fibonacci-Folge mit den Landausymbolen beschrieben werden.

-Es soll als nächstes gezeigt werden, dass ( φn)n>0 in ℝ konvergiert. Für n > 0 sei φn:= \( \frac{an}{an-1} \)

und auch :

-Sei Φ:= lim n→∞ φn. Es soll gezeigt werden, dass Φ =\( \frac{1+√5}{2} \)  gilt. Φ wird auch goldener Schnitt genannt.

Answer 1

 \( 2^{\frac{n}{2}} \leq a_{n} \leq 2^{n} \)

geht durch vollst. Induktion.

z.B. der rechte Teil so: n=0 und n=1 sind wohl klar.

Sei also n so, dass (der rechte Teil) der Ungleichung für n und n-1 gilt,

dann gilt auch \( a_{n+1} = a_{n} + a_{n-1} \)

                     \( \leq 2^n + 2^{n-1} = 2^{n-1} \cdot (2+1 ) \)

               \( = 2^{n-1} \cdot 3  \leq 2^{n-1} \cdot 4 = 2^{n+1 }\)

Und die linke Seite führt ähnlich auf :

$$ a_{n+1} = a_{n} + a_{n-1}  \geq 2^{\frac{n}{2}} + 2^{\frac{n-1}{2}}$$

$$ = 2^{\frac{n-1}{2}} \dot   (2^{\frac{1}{2}} + 1)  \geq 2^{\frac{n-1}{2}} \dot 2 =  2^{\frac{n+1}{2}} $$

Monotonie folgt also sofort aus Betrachtung der Differenz a_n+1 - a_n

Und wenn man hat, dass φ_n konvergiert  gegen Φ, und bedenkt:

φ_n+1 =       a_n+1 / a_n = (a_n + a_n-1 ) / a_n =  1 + a_n / a_n-1  = 1 +  1/ φn

Und  φ_n und φ_n+1 gehen gegen den gleichen Grenzwert Φ, also

        Φ = 1 +  1/Φ ==>   Φ^2 - Φ - 1 = 0

Das hat zwei Lösungen, und wegen der Monotonie ist die

positive Lösung der gesuchte Grenzwert.

Comments

Beim Beweis der Ungleichung hast du die Induktionsvoraussetzung sowohl für n als auch für n-1 angewendet. Darf man das? Eigentlich gilt die Induktionsvoraussetzung doch nur für ein beliebiges aber festes n. Sonst könnte man doch auch mit der gleichen Logik die Induktionsvoraussetzung einfach direkt für n+1 anwenden und wäre fertig.