Aufgabe:
Zeigen oder widerlegen Sie die folgende Aussage: die Folge (an)n∈ℕ ist konvergent.
an = \( \frac{n+(-1)^n n }{n+1} \)
Wie mache ich das am besten? Vielen Dank im voraus. :)
Aloha :)
Du kannst die Folge \((a_n)\) in zwei Teilfogen aufteilen:
$$n\text{ gerade}\quad\implies a_n=\frac{2n}{n+1}=\frac{2n+2-2}{n+1}=2-\frac{2}{n+1}\to2$$$$n\text{ ungerade}\implies a_n=0$$
Beide Teilfolgen haben einen unterschiedlichen Grenzwert, daher konvergiert die Folge \((a_n)\) nicht.
Da hätte ich auch selber drauf kommen können^^ besten dank ;)
Für gerade n ist der Zähler gleich 2n. Diese Teilfolge konvergiert gegen 2.
Für ungerade n ist der Zähler gleich Null.
Es gibt also zwei Häufungspunkte.
Die Folge konvergiert nicht.
:-)
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