Lösen mittlels Lagrange-Ansatz

Question

Minimierung der Kosten C(x1,x2) = 2x1 + 3x2 unter der Nebenbedingung 100x1x2 = 200 mittels Lagrange - Ansatz.

x1 und x2 rechnen

Answer 1

Aloha :)

$$C(x;y)=2x+3y\to\text{Extremum}\quad;\quad g(x;y)=100xy\stackrel!=200$$Nach Lagrange muss der Gradient der zu optimierenden Funktion ein Vielfaches des Gradienten der Nebenbedingung sein:

$$\operatorname{grad}C(x;y)=\lambda\cdot\operatorname{grad}g(x;y)\implies\binom{2}{3}=\lambda\binom{100y}{100x}\implies\frac{2}{3}=\frac{\lambda\,100y}{\lambda\,100x}=\frac{y}{x}$$

Damit haben wir die Forderung $y=\frac{2}{3}x$ und setzen sie in die Nebenbedingung ein:$$200=100xy=100x\cdot\frac{2}{3}x=\frac{200}{3}x^2\implies x^2=3\implies x=\pm\sqrt3\implies y=\pm\frac{2\sqrt3}{3}$$

Wir haben also zwei Extrema: $\left(\sqrt3\,\big|\,\frac{2\sqrt3}{3}\right)$ und $\left(-\sqrt3\,\big|\,-\frac{2\sqrt3}{3}\right)$.

Da die negative Lösung wegfällt (weil nicht weniger als nichts produziert werden kann), bleibt nur $x=\sqrt3$ und $y=\frac{2\sqrt3}{3}$ als Lösung übrig.

Comments

Dankeschöööönnn :-)

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weil nicht weniger als nichts produziert werden kann

Ökonomen können das. Sie sagen dazu "kaufen".