Bedingungen für den Gauß Algorithmus

Question

Hallo liebe Mathelounge Community,

ich habe bei einer Aufgabe zum Gauß-Algorithmus/beim aufstellen der Bedingungen. Ich komme einfach nicht auf die richtige Funktion und weiß nicht wo der Fehler liegt?

Liebe Grüße

Text erkannt:

Der Graph, der den Produktlebenszyklus eines Produktes darstellt, hat die allgemeine Form \( a(t)=b t^{4}+c t^{3}+d t^{2} \). Dabei gibt \( a \) den monatlichen Absatz in ME/Monat und \( t \) die Zeit in Monaten seit Einführung des Produktes an. Der Graph der Produktlebenszyklusfunktion hat Extrempunkte an den Stellen \( x=0, x=5 \) und \( x=10 \).
a) Bestimmen Sie die Gleichung der Produktlebenszyklusfunktion mit ihrem ökonomisch sinnvollen Definitionsbereich.

Text erkannt:

a) Deoingungen
I. \( a^{\prime}(0)=0 \),
II \( a^{\prime}(5)=0 \)
II \( a^{\prime}(10)=0 \)
Sleichungen oufstolen
I \( 4 b \cdot 0^{3}+3 c \cdot 0^{2}+2 \partial \cdot 0=0=0 \)
I. \( 4 b \cdot 5^{3}+3 c 5^{2}+2 d \cdot 5=>500 b+75 c+10 d=0 \)
II \( 4 b \cdot 10^{3}+3 c \cdot 10^{2}+2 d \cdot 10 \Rightarrow 4000 b+300 c+20 d=0 \)
Gleichungen losen

Answer 1

Aloha :)

Die Ableitung \(a'(t)\) der gesuchten Funktion ist ein Polynom 3-ten Grades, von dem wir 3 Nullstellen kennen, nämlich die Position der Extrema. Daher ist \(a'(t)\) bis auf eine Konstante \(\alpha\) eindeutig bestimmt:$$a'(t)=\alpha\cdot(x-0)\cdot(x-5)\cdot(x-10)=\alpha x(x^2-15x+50)=\alpha(x^3-15x^2+50x)$$

Wir überlegen uns nun, wie die Funktion \(a(t)\) aussehen muss, damit sie die Ableitung \(a'(t)\) hat:$$a(t)=\alpha\left(\frac{x^4}{4}-5x^3+25x^2\right)$$Eine mögliche Integrationskonstante muss verschwinden, da in \(a(t)\) laut Aufgabenstellung kein konstanter Summand vorkommt.

Die Konstante \(\alpha\) können wir aus den Angaben in der Aufgabenstellung nicht ermitteln. Dazu brauchen wir einen weiteren Punkt der Kurve, an dem der Funktionswert ungleich Null ist.

~plot~ x^4/4-5x^3+25x^2 ; [[-5|15|0|200]] ~plot~