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Aufgabe:

Berechnen Sie das Kurvenintegral \( \int\limits_{C}^{\} \)  w dx, wobei w wie im vorherigen Beispiel und
C die Ellipse (x²/4 + y²/9) = 1 ist.

w = \( \begin{pmatrix} y*e^x + e^y +z^2 * y \\e^x + x*e^y + z^2 * x\\2xyz\end{pmatrix} \)


Ansatz:

Hier würde ich die Parametrisierung

\( \begin{pmatrix} a*cos(t) \\ b* sin(t) \\ t \end{pmatrix} \) verwenden.

Also x = a*cos(t) usw

wobei 0<t<2pi

und dann zwischen den Grenzen integrieren

für a = 2 und b = 3 verwenden


Stimmt das so?

von

Was ist denn über die \(z\)-Komponente des Weges \(C\) bekannt?

In der Angabe steht das nicht

1 Antwort

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Aloha :)

Da über die \(z\)-Koordinate des Weges nichts bekannt ist, gehe ich davon aus, dass der Weg \(C\) eine Ellipse innerhalb der \(xy\)-Ebene mit \(z=0\) ist:$$C=\left\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\,\bigg|\,\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1\;;\;z=0\right\}$$

Für den Ortsvektor \(\vec r\) zum Abtasten dieses Weges \(C\) wählen wir die Parametrisierung$$\vec r=\begin{pmatrix}2\cos t\\3\sin t\\0\end{pmatrix}\quad;\quad\varphi\in[0;2\pi]$$

Das Kurvenintegral sieht nun so aus:$$I=\int\limits_C\vec w\,d\vec r=\int\limits_0^{2\pi}\vec w\,\frac{d\vec r}{dt}\,dt=\int\limits_0^{2\pi}\begin{pmatrix}3\sin t\cdot e^{2\cos t}+e^{3\sin t}\\e^{2\cos t}+2\cos t\cdot e^{3\sin t}\\0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2\sin t\\3\cos t\\0\end{pmatrix}dt$$$$\phantom{I}=\int\limits_0^{2\pi}\left(-6\sin^2 t\, e^{2\cos t}-2\sin t\,e^{3\sin t}+3\cos t\,e^{2\cos t}+6\cos^2 t\, e^{3\sin t}\right)dt$$$$\phantom{I}=\int\limits_0^{2\pi}\left((-6\sin^2 t\, e^{2\cos t}+3\cos t\,e^{2\cos t})+(6\cos^2 t\, e^{3\sin t}-2\sin t\,e^{3\sin t})\right)dt$$$$\phantom{I}=\int\limits_0^{2\pi}\left(\frac{d}{dt}\left(3\sin t\,e^{2\cos t}\right)+\frac{d}{dt}\left(2\cos t\,e^{3\sin t}\right)\right)dt$$$$\phantom{I}=\left[3\sin t\,e^{2\cos t}\right]_0^{2\pi}+\left[2\cos t\,e^{3\sin t}\right]_0^{2\pi}=0-0+2-2=0$$

von 72 k 🚀

Ich habe das Integral nachträglich noch ausgerechnet ;)

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