Sinus hyperbolicus und Taylorreihe

Question

Aufgabe:

Sinus hyperbolicus in der Taylorreihe beweisen

Problem/Ansatz:

ich finde das thema sehr ineressant, kann aber den Weg nicht herleiten

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

$$\sinh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}=\frac{1}{2}\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}-\frac{1}{2}\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{(-x)^n}{n!}=\frac{1}{2}\sum\limits_{n=0}^\infty\left(\frac{x^n}{n!}-\frac{(-x)^n}{n!}\right)$$Für alle geraden \(n\) ergibt die Klammer \(0\), daher betrachten wir nur alle ungeraden \(n=2k-1\) weiter:$$\sinh(x)=\frac{1}{2}\sum\limits_{k=1}^\infty\left(\frac{x^{2k-1}}{(2k-1)!}-\frac{(-x)^{2k-1}}{(2k-1)!}\right)=\frac{1}{2}\sum\limits_{k=1}^\infty\left(\frac{x^{2k-1}}{(2k-1)!}+\frac{x^{2k-1}}{(2k-1)!}\right)$$$$\phantom{\sinh(x)}=\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{x^{2k-1}}{(2k-1)!}$$

Comments

Hallo, danke!

Was passiert in der ersten Zeile? Das habe ich schon einmal im Internet gefunden. Wocher kommt Differenz der Summen?

Mit freundlichen Grüßen

Liza

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In der ersten Zeile habe ich die Definition der Sinus-Hyperbolicus-Funktion$$\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$$hergenommen und den Bruch zerlegt:$$\sinh x=\frac{e^x}{2}-\frac{e^{-x}}{2}$$Dann habe ich die Potenzreihe der \(e^x\)-Funktion$$e^x=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}$$verwendet und eingesetzt:$$\sinh x=\frac{1}{2}\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}-\frac{1}{2}\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{(-x)^n}{n!}$$Der Rest sind dann algebraische Umformungen.