Die Funktionen Sinus Hyperbolicus und Cosinus Hyperbolicus

Question

Aufgabe:

Die Funktionen Sinus Hyperbolicus sinh: \( \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) und Cosinus Hyperbolicus \( \cosh : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) sind wie folgt definiert:
\( \sinh (x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2} \quad \cosh (x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2} . \)

(a) Zeigen Sie für alle \( x \in \mathbb{R} \) :
\( \sinh (-x)=-\sinh (x), \quad \cosh (-x)=\cosh (x), \quad \cosh ^{2}(x)-\sinh ^{2}(x)=1 \)

(b) Berechnen Sie \( \sinh ^{\prime} \) und \( \cosh ^{\prime} \) und untersuchen Sie beide Funktionen auf Extrema.

Answer 1

Wo ist das Problem ?

\(\sinh (x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2} \)  also

\(\sinh (-x)=\frac{e^{-x}-e^{-(-x)}}{2} =\frac{e^{-x}-e^{x}}{2}=\frac{-e^{x}+e^{-x}}{2}=\frac{-(e^{x)}-e^{-x})}{2} = -\sinh (x)\) 

etc.