Berechnen Sie mit der Methode der linearen Approximative näherungsweise für die Funktion f(x)

Question

Aufgabe:

Lineare Approximation

Problem/Ansatz:

Könnte mir jemand sagen, ob ich diese Aufgabe richtig habe oder ob ich komplett falsch liege?

Berechnen Sie mit der Methode der linearen Approximative näherungsweise für die Funktion f(x)

f(x)= sqrtx

den Funktionswert für x= 29

a: Verwenden Sie den nächstgelegene Stützpunkt, dessen Wurzel eine ganze Zahl ist

b: Geben Sie die Abweichung vom tatsächlichen Wert in % an

Meins:

f(x): sqrt x

f(x0)= sqrt 29

f'(29)= sqrt 29/58

L(x)= sqrt 29 + (sqrt 29/58 (x-29)) =

0,092847669x + 2,6925824

dasselbe hab ich nochmals mit x= 25 gemacht und die Abweichung geschätzt

Answer 1

Aloha :)

Wir bestimmen die Tangente an die Kurve$$f(x)=\sqrt{n^2+x}$$an der Stelle \(x_0=0\):$$f(0)=\sqrt{n^2+0}=n$$$$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{n^2+x}}\implies f'(0)=\frac{1}{2\sqrt{n^2+0}}=\frac{1}{2n}$$Damit lautet die Tangente:$$t(x)\approx f(0)+f'(0)\cdot(x-0)=n+\frac{1}{2n}\cdot x\quad\implies$$$$\boxed{\sqrt{n^2+x}\approx n+\frac{x}{2n}}$$

Damit bestimmen wir nun \(\sqrt{29}\)$$\sqrt{29}\approx\sqrt{5^2+4}=5+\frac{4}{2\cdot5}=5,4$$Die relative Abweichung vom tatsächlichen Wert beträgt:$$\frac{5,4-\sqrt{29}}{\sqrt{29}}=\frac{5,4}{\sqrt{29}}-1\approx0,002755=0,2755\%$$

Comments

blöde Frage, aber wie bist du von der Funktion \( \sqrt{x} \) auf \( \sqrt{n^{2}+x} \) gekommen ?

lg

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Die Idee war, dass man bei der Suche nach der Wurzel von der nächstliegenden Quadratzahl ausgeht:$$\sqrt{51}=\sqrt{49+2}\stackrel{(n=7)}\approx7+\frac2{14}$$Dann passt die Näherung besser.

Answer 2

f(x) = √x
f'(x) = 1/(2·√x)

Für die Tangente an der Stelle 25 gilt

t(x) = f(25) + f'(25)·(x - 25)

t(x) = 5 + 0.1·(x - 25)

Damit soll jetzt f(29) genähert werden

t(29) = 5 + 0.1·(29 - 25) = 5.4

Abweichung

5.4/√29 - 1 = 0.002755 = 0.2755%

Comments

ok, danke so kapier ichs jetzt.

Nach diesem Schema geh ich dann immer vor oder?

Lg