Aloha :)
Mit dem binomischen Lehrsatz können wir \((a_n=\frac{2^n}{n})\) für \(n\ge2\) wie folgt abschätzen:
$$2^n=(1+1)^n=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}\cdot1^k\cdot1^{n-k}=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}\stackrel{(n\ge2)}>\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}\implies$$$$a_n=\frac{2^n}{n}>\frac{n-1}{2}\to\infty$$Wie sich durch Probieren herausstellt, gilt diese Abschätzung auch für \(n=1\). Daher ist \((a_n)\) unbeschränkt.
\((b_n)\) können wir wie folgt abschätzen:$$0\le b_n=\frac{n!}{n^n}=\frac{1}{n}\cdot\frac{2}{n}\cdot\frac{3}{n}\cdots\frac{n}{n}\le\frac{1}{n}\cdot\frac{n}{n}\cdot\frac{n}{n}\cdots\frac{n}{n}=\frac{1}{n}\implies$$$$0\le b_n\le\frac{1}{n}\le1$$
