Wie berechne ich die Ableitungen von f1(x) = xx, f2(x)=(xx)x, f3(x)= xx^x?

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie die Ableitungen der drei Funktionen $f_{i}:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$, $i=1,2,3$, definiert durch

$f_{1}(x)=x^{x}, \quad f_{2}(x)=\left(x^{x}\right)^{x}, \quad f_{3}(x)=x^{\left(x^{x}\right)}$

wobei wir $x^{a}$ durch $x^{a}:=\exp (a \log x)$ definieren.

Answer 1

Hi,

 

f₁(x) = x^x = e^xlnx

f₁'(x) = (xln(x))'e^xlnx = ln(x)e^xlnx + e^xlnx = e^xlnx*(ln(x)+1) = x^x*(ln(x)+1)

 

f₂(x) = (x^x)^x = e^xlnxx

f₂'(x) = (xln(x^x))'*e^xlnxx = ln(x^x)*e^xlnxx + x(ln(x)+1)*e^xlnxx = e^xlnxx*(ln(x^x)+xln(x)+x)

= (x^x)^x*(ln(x^x)+xln(x)+x)

 

f₃(x) = x^xx = e^xxlnx

Das geht nach dem gleichem Schema. Bin jetzt aber zu faul alles nochmals aufzuschreiben. Sollte so aussehen:

f₃'(x) = x^xx (x^-1+x+x^x*ln(x)(1+ln(x)))

 

Grüße