Bestimmen Sie die Lage der lokalen Hoch- und Tiefpunkte von f im angegebenen Intervall:

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Lage der lokalen Hoch- und Tiefpunkte von f im angegebenen Intervall:

f(x) = 0,5sin x + 1

Intervall: 0 <= x <= 3Pi

Problem/Ansatz:

Habe die erste Ableitung gebildet:

f´(x) = -0,5cos x

Komme aber nun nicht weiter und weiß nicht, wie ich vorgehen soll.

Mein erster Gedanke war natürlich, die Ableitung 0 zu setzen, jedoch leuchtet mir nicht ein, wie ich dort ein Ergebnis erhalten soll

Answer 1

siehe Mathe-Formelbuch,was du privat in jedem Buchladen bekommst

Kapitel,trigonometrische Funktionen

y=f(x)=sin(x)

Nullstellen x=k*pi mit k=0,1,2,3...

Extrema x=pi/2+k*pi mit k=0,1,2,3..

Wendestellen x=k*pi mit k=0,1,2,3..

y=f(x9=0,5*sin(x)+1

c=1  ist um 1 Einheit nach oben verschoben

a=0,5 ist die Amplitude,Ausschlag nach oben und unten um eine Mittellinie → hier y=1

1.te Extrema x1=pi/2+0*pi=pi/2 →  f(pi/2)=sin(pi/2)=1  → Maximum

2.te Extrema x2=pi/2+1*pi=3/2*pi → f(3/2*pi)=sin(3/2*pi)=-1 → Minimum

usw.

3.te Extrema mit k=2

4.te Extrema mit k=3

Maximum und Minimum wechselb sich dabei immer ab.

Infos

Text erkannt:

Sed ingung
\( f(x)=\sin (x) \) und \( f(x)=\cos (x) \) sind un eirz-oas neneneinander rer \( (x)-\sin (x+p) / 2)=\cos (x) \) kechner auf "rad" (Badiant) einstellen
allgenetae Forn \( g=\mathrm{fC} \)
v-2"pi/T Winkelgeschuindigkeit ("Kroisfrequenz")
Tezeit fer eine volle "Periode" in n (sekunden) Periode-2 Halhwellen (positive- und negative lhatbwelle) \( \omega>0 \) rerschiebt den Graphen auf der x-hchse nach " 1 inken be0 verschiebt den Graphen auf der x-hches nach "rechte" versehiebt den Graphen nach "oben" \( c<0 \) verschiebt den Graphen nach "unten"
Drebrichtung re1 Vektor ait den Betrag "1"
Zeichnet man die "Ven
\( r=f(x)=\sin (x)] \)
2) \( y=f(x)=\cos (x) \)

 ~plot~0,5*sin(x)+1;[[-5|10|0|3]];x=pi/2;x=3/2*pi~plot~

Answer 2

Die Idee ist richtig, die Ableitung falsch.

Dort wo die Ableitung gleich Null ist, hat die Funktion ein Minimum oder Maximum:

Man findet die Nullstellen der Ableitung bei cos(x) = 0, ihr Abstand ist Pi.

Answer 3

f´(x) = -0,5cos x

Am Einheitskreis kann man sich klar machen, dass die Nullstellen bei

        \(\frac{\pi}{2}+n\pi\qquad\forall n\in\mathbb{Z}\)

liegen.

Mein erster Gedanke war natürlich, die Ableitung 0 zu setzen

Der Gedanke ist richtig. Ableitung von \(0{,}5\sin x+1\) ist \(0{,}5\cos x\).

Comments

Ist mir nicht klar, wie du darauf kommst. Geht das ganze nicht rechnerisch? Wie komme ich auf die π/2?

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Einheitskreis:

Schau's dir an und überleg mal, was \(\cos 90°\) ist.

Dann rechne \(90°\) in Bogenmaß um.

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Okay, Fehler bei der Ableitung habe ich erkannt.

Wie kann ich das ganze denn aber ohne den Einheitskreis rechnerisch lösen?

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Letztendlich führen alle Wege zurück auf den Einheitskreis.