Zeigen Sie, dass (R, +) über (R,+,*) ein endlich- und über (Q,+,*) ein unendlichdimensionaler Vektorraum ist

Question

$$\text{ Zeigen Sie, dass }(\mathbb{R},+)\text{ über }(\mathbb{R},+,.)\text{ ein endlichdimensionaler Vektorraum,}$$

$$\text{ aber über }(\mathbb{Q},+,.)\text{ ein unendlichdimensionaler Vektorraum ist. }$$

Answer 1

$$\text{ Zeigen Sie, dass }(\mathbb{R},+)\text{ über }(\mathbb{R},+,.)\text{ ein endlichdimensionaler Vektorraum,}$$

Dass es ein Vektorraum ist, ist schon klar ( ansonsten alle Axiome prüfen) .

1 ist eine Basis; denn jedes x∈ℝ ist x*1 

$$\text{ aber über }(\mathbb{Q},+,.)\text{ ein unendlichdimensionaler Vektorraum ist. }$$

Für alle Primzahlen p ist die (unendliche) Familie √p linear unabhhängig über dem Körper ℚ;

Denn jede Linearkombination von solchen Wurzeln ist nur 0, wenn alle

Koeffizienten 0 sind.