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Also, wir betrachten einen Vektorraum V = R der reellen Zahlen über dem Körper Q und die Vektormenge M = {2, √2, √8}.

Aufgabe ist zu zeigen das die Vektoren {2, √2, √6} linear unabhängig sind. Bei zwei Vektoren ist das noch relativ einfach, bei dreien steh ich da etwas auf dem Schlauch.

Hinweis ist noch: Für jede natürlich Zahl n, die nicht das Quadrat einer natürlichen Zahl ist, gilt sqrt(n) nicht Element Q.

Was mir noch aufgefallen ist, ist das in M √8 enthalten ist, in der Aufgabe aber √6. Scheint wohl ein Fehler zu sein, bei beiden stehe ich aber vor dem gleichen Problem.

von

Das mit der \(\sqrt{8}\) ist definitiv ein Druckfehler und es wird \(\sqrt{6}\) gemeint (sonst wäre die Aufgabe Blödsinn). Du kannst die lineare Unabhängigkeit ganz normal mit der Definition nachweisen. Versuchs mal über nen Widerspruch. Nehme an dass es eine Linearkombination gibt und zeige, dass die Koeffizienten nicht rational sein können.

1 Antwort

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und die Vektormenge M = {2, √2, √8}.

Aufgabe ist zu zeigen das die Vektoren {2, √2, √6} linear unabhängig sind.

Also Sinn machen durchaus beide Aufgaben, allerdings ist die erste

Vektormenge linear abhängig, denn √8 = 2*√2

also ist √8 = 0*2 + 2*√2  eine Linearkombination von 2 und √2 ,

welche den 3. Vektor darstellt.

Bei  {2, √2, √6} ist die Menge lin. unabhängig.

Dazu muss man für jeden der drei prüfen, ob er durch die anderen beiden

darstellbar ist, oder mit dem Ansatz x*2  +y*√2 + z*√6 = 0zeigen, dass daraus

x=y=z=0 folgt.

Ich versuche mal die zweite Version:

x*2  +y*√2 + z*√6 = 0

x*2  +y*√2 + z*√2*√3 = 0

x*2 + (y*+ z*√3)*√2= 0   nun ist ja bekannt , dass Summe und Produkt je einer

rationalen und einer irrationalen Zahl immer irrational ist, außer beim Produkt

einer irrationalen Zahl mit 0.    #

Betrachte also  x*2 + (y*+ z*√3)*√2= 0

1. Fall x=0 dann muss auch die Klammer 0 sein,

also  y*+ z*√3 = 0  somit  y = -  z*√3

wäre y oder z ungleich 0, hätte man eine rat. Zahl

gleich einem Produkt rat*irrat Widerspruch zu #, also sind

y und z beide 0.

2. Fall  x ≠ 0

dann ist    - 2x = (y*+ z*√3)*√2 mit rationalen x,y,z   ##

also sind auch die Quadrate gleich

4x^2  = (y*+ z*√3)^2 * 2     | :2

2x^2 =  (y*+ z*√3)^2

2x^2 =  y^2  +  2yz√3   +  3z^2 

2x^2 -  y^2  -   3z^2  =  2yz√3  

links ist alles rational und rechts  rational * irrational, also

2yz = 0 und damit y = 0 oder z=0

Das gibt bei ## die beiden Möglichkeiten

1. Unterfall:   y=0   also     - 2x =  z*√3*√2  = z*√6 

und damit wieder links rational und rechts rational * irrational,

...................  also auch z=0.

2. Unterfall:  z=0 also wird aus ##    - 2x = y*√2

und damit - wie oben argumentiert -       y=0

also in beiden Fällen y=0 und z=0

Dann bleibt aber von der ursprünglichen Gleichung nur noch

x*2=0   also   x=0.  Im Widerspruch zur Annahme  x ≠ 0.

Der 2. Fall kann also nicht eintreten und damit ist gezeigt

x=y=z=0  also die Vektoren lin. unabh.




von 228 k 🚀

Das mit dem Sinn ist Haarspalterei.

Der 2. Fall ist vollkommen unnötig.

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