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$$\text{ Zeigen Sie, dass }(\mathbb{R},+)\text{ über }(\mathbb{R},+,.)\text{ ein endlichdimensionaler Vektorraum,}$$

$$\text{ aber über }(\mathbb{Q},+,.)\text{ ein unendlichdimensionaler Vektorraum ist. }$$

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$$\text{ Zeigen Sie, dass }(\mathbb{R},+)\text{ über }(\mathbb{R},+,.)\text{ ein endlichdimensionaler Vektorraum,}$$

Dass es ein Vektorraum ist, ist schon klar ( ansonsten alle Axiome prüfen) .

1 ist eine Basis; denn jedes x∈ℝ ist x*1 

$$\text{ aber über }(\mathbb{Q},+,.)\text{ ein unendlichdimensionaler Vektorraum ist. }$$

Für alle Primzahlen p ist die (unendliche) Familie √p linear unabhhängig über dem Körper ℚ;

Denn jede Linearkombination von solchen Wurzeln ist nur 0, wenn alle

Koeffizienten 0 sind.

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