Menge im kartesischen Koordinaten und Zylinderkoordinaten

Question

Aufgabe: Skizzieren Sie die folgenden Mengen und geben Sie d, die Menge B in
kartesischen und die Menge C in Zylinderkoordinaten an:

B = $$ {\begin{pmatrix} r cos(φ) sin(θ)\\ rsin(φ) sin(θ)\\r cos(θ) \end{pmatrix} ∈ R^3| 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ φ ≤ π/2, π/2 ≤ θ ≤ π} $$

C = {(x, y, z) ∈ R^3 | x^2 + y^2 ≤ z^4, −2 ≤ z ≤ 3, x ≥ 0}  Skizzieren Sie die folgenden Mengen und geben Sie die Menge C in Zylinderkoordinaten an könnte jemand bitte mir sagen wie ich mit Zylinderkoordinaten und die Menge B in

kartesischen weiter gehen soll?

Answer 1

Hallo,

die Menge \(B\) sei: $$B=\left\{ {\begin{pmatrix} r \cos(φ) \sin(θ)\\ r \sin(φ) \sin(θ)\\r \cos(θ) \end{pmatrix} ∈ R^3 \mid 0 ≤ r ≤ 1, \space 0 ≤ φ ≤ \frac\pi2,\space \frac\pi 2 ≤ θ ≤ π} \right\}$$mit der üblichen Definition von Kugelkoordinaten ist das in kartesischen Koordinaten:$$B=\left\{ {\begin{pmatrix}x\\ y\\ z \end{pmatrix} ∈ R^3 \mid x^2+y^2+z^2 ≤ 1, \space x \ge 0,\space y \ge 0, \space z \le 0} \right\}$$dies ist ein Achtel einer Kugel und sieht so aus:

(klick auf das Bild, dann kannst Du es mit der Maus rotieren und bekommst einen besseren Eindruck)

$$C = \left\{(x, y, z) ∈ R^3 \mid x^2 + y^2 \le z^4,\space −2 \le z \le 3,\space x \ge 0 \right\}$$Zylinderkoordinaten sind i.A. definiert als$$x = r \cos \varphi\\ y = r \sin \varphi\\ z = h $$oben einsetzen gibt$$C = \left\{\begin{pmatrix} r \cos \varphi \\ r \sin \varphi\\ h \end{pmatrix} ∈ R^3 \mid r \ge 0, \space r \le h^2,\space −2 \le h \le 3,\space -\frac\pi 2 \le \varphi \le \frac\pi 2 \right\}$$und sieht so aus:

(klick drauf ...)

Gruß Werner

Comments

bedanke mich

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könntest du bitte mir sagen wie soll ich mit punkten skizzeren soll ich komm damit nicht weiter

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könntest du bitte mir sagen wie soll ich mit punkten skizzeren soll ich komm damit nicht weiter

Ich verstehe die Frage nicht!

Sollst Du die Mengen 'mit Punkten' skizzieren?

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nein nein alles klar ich hatte was vergesehen aber Danke für die Anwort nur kürze frage noch in der letzten bei zylinder koordinaten sollte nicht -π/4≤φ≤π/4 sein?

ich bedanke mich

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in der letzten bei zylinder koordinaten sollte nicht -π/4≤φ≤π/4 sein?

Nein. \(-\pi/4\) bis \(\pi/4\) ist zusammen nur ein Viertelkreis. Das $$- \frac\pi2 \le \varphi \le \frac\pi2$$ ist aber ein Halbkreis und der Ersatz für \(x \ge 0\). \(C\) ist rotationssymmetrisch um die Z-Achse und durch die Bedingung \(x\ge 0\) mittig 'abgeschnitten'.

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ich danke dir könnte ich eine Frage mit gradient stellen wenn du kurz zeit hast?