a) Ein Fixpunkt (auch stationärer Punkt) ist ein Punkt, für den die Ableitungen der beiden Größen 0 ergeben, also muss gelten
h' = s' = 0
Zwei Fixpunkt findet man für s=0:
0 = h(3-h-2*0) = h(3-h) ⇒ mögliche Fixpunkte sind h=0 und h = 3
0 = 0*(2-h-0) = 0
Also liegen zwei Fixpunkte bei
(h, s) = (0, 0) und (h, s) = (3, 0)
Einen weiteren für h = 0:
(Die erste Gleichung ist automatisch erfüllt, die will ich nicht weiter betrachten.)
0 = s*(2-0-s) = s*(2-s) ⇒ ein weitere Fixpunkt liegt bei (h, s) = (0, 2)
b) Hierfür setzt man einfach den Punkt (h, s) = (1, 1) in die Differentialgleichung ein und überprüft, ob sich für beide Ableitungen 0 ergibt:
h' = h*(3-h-2s) = 1*(3-1-2*1) = 1*0 = 0
s' = s*(2-h-s) = 1*(2-1-1) = 0
also ist (h, s) eine stationäre Lösung.
c) Das Phasenportrait ist ein bisschen schwer zu beschreiben. Du kannst es annähern, indem du ein Koordinatensystem h-s zeichnest und in jeden Punkt (h,s) einen kleinen Pfeil malst, mit der Richtung (h', s') die du für diesen Punkt berechnen kannst.
d) Sowohl Hasen- als auch Schafspopulation werden fallen und schließlich gegen den stabilen Punkt (1, 1) gehen.
