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Hasen und Schafe können im Lotka-Volterra-System verwendet werden. In diesem beispiel konkurrieren sie um das gleiche Futter.

Die Hasen und Schafe sind wie folgt definiert: h'=h(3-h-2s) s'=s(2-h-s)

(a) Finde Fixpunkte, so dass das system h 0; s = 0 und h = 0; s 0 ist
(b) Zeige, dass h = s = 1 auch ein fixpunkt des systems ist
(c) Skizziere das phasen-portrait.
(d) Was passiert wenn die Bevöllkerung von Hasen und Schafen gleich h(0) = ho (h null/ h mit kleinem null kreis am h) = 2 und s(0) = so (s null/ s mit kleinem null kreis am s) = 1?

Ich habe leider keine Ahnung.

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1 Antwort

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a) Ein Fixpunkt (auch stationärer Punkt) ist ein Punkt, für den die Ableitungen der beiden Größen 0 ergeben, also muss gelten

h' = s' = 0

Zwei Fixpunkt findet man für s=0:

0 = h(3-h-2*0) = h(3-h) ⇒ mögliche Fixpunkte sind h=0 und h = 3

0 = 0*(2-h-0) = 0

Also liegen zwei Fixpunkte bei

(h, s) = (0, 0) und (h, s) = (3, 0)

 

Einen weiteren für h = 0:

(Die erste Gleichung ist automatisch erfüllt, die will ich nicht weiter betrachten.)

0 = s*(2-0-s) = s*(2-s) ⇒ ein weitere Fixpunkt liegt bei (h, s) = (0, 2)

 

b) Hierfür setzt man einfach den Punkt (h, s) = (1, 1) in die Differentialgleichung ein und überprüft, ob sich für beide Ableitungen 0 ergibt:

h' = h*(3-h-2s) = 1*(3-1-2*1) = 1*0 = 0

s' = s*(2-h-s) = 1*(2-1-1) = 0

also ist (h, s) eine stationäre Lösung.

c) Das Phasenportrait ist ein bisschen schwer zu beschreiben. Du kannst es annähern, indem du ein Koordinatensystem h-s zeichnest und in jeden Punkt (h,s) einen kleinen Pfeil malst, mit der Richtung (h', s') die du für diesen Punkt berechnen kannst.

 

d) Sowohl Hasen- als auch Schafspopulation werden fallen und schließlich gegen den stabilen Punkt (1, 1) gehen.
Beantwortet von 10 k
Du bist ein Schatz!!! Aber das Phasenportrait hab ich nicht verstanden, was muss ich da wo einsetzen, könntest du mir das noch mal erklären? Aber danke schon mal!!!

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