Explizite Formel der Folgen bestimmen

Question

Aufgabe:

Explizite Formel der Folge X0, X1, X2 bestimmen

a) X₀ = 2 X₁= 9 und X_t = 6X_t-1 -10_t-2 

bzw.

b) X₀ = 2 X₁ = 3 und X_t= 6X_t-1 -9X_t-2

Problem/Ansatz:

a) Eine Folge X0, X1, X2 von rellen Zahlen erfülle Xt = aX_t-1 + bX_t-2 für alle t≥2 wobei a,b ∈ lR die Koeffizienten seien.

Dann heißt x² = ax + b charackteristische Gleichung mit Lösungen r1 und r2

Berechnung: x² = 7x - 10 --> = 0 und Mitternachtsformel

r1 = 2 r2 = 5 -->  r1 ≠ r2 → 1. Fall

X_t = c₁r₁^t + c₂r₂^t. Dabei sind c1, c2 ∈ lR durch die Startwerte t = 0, t = 1 zu bestimmen

X_t = c₁*2^t + c₂*5^t

t = 0  3 = c₁ + c₂      (l)                    X0 = c₁ + c₂

t = 1  9 = 2c₁ + 5c₂  (ll)                   X1 = c₁r₁+c₂r₂

(ll) nach c1 umgestellt und es in (l) anstelle von c1 eingesetzt um nur noch eine unbekannte zu haben

3 = (9-5c₂)/2 + c2

c2 = 1 einsetzen in (l) → c1 = 2

X_t = 2 * 2^t + 1*5^t  --> 4^t + 5^t

bin mir nicht sicher ob es stimmt. Oder man es schneller ausrechnen hätte können.

Comments

Hallo,

grundsätzlich ist das Vorgehen richtig. Allerdings komme ich mit den Zahlen nicht klar. Es fängt in der Zeile "Berechnung" mit 7x an - das finde ich nicht in der Aufgabe, x_0=3 sehe ich auch nicht. Schließlich ist nicht:2*2^t=4^t ...

Im übrigen kannst Du ja auch einfach eine Probe machen.

Gruß Mathhilf

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danke, ich rechne es gleich nochmal neu und melde mich wd back. aber müsste ich dann 2*2^t dann einfach so stehen lassen?

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Du kannst es zu \(2^{t+1}\) umformen