Wie berechne ich den links- und rechtsseitigen Grenzwert der Funktion in x = 1?

Question

Aufgabe:

f(x) = x² + ( abs(x-1) / x-1) für x element R/{1} und 2 für x = 1.

Problem/Ansatz:

Wie berechne ich den links- und rechtsseitigen Grenzwert der Funktion in x = 1? (Mir ginge es vorallem um die genaue Erklärung statt dem Ergebnis)

Vielen Dank schon mal!

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

$$f(x)=\left\{\begin{array}{cl}x^2+\frac{|x-1|}{x-1} & \text{für } x\in \mathbb R\setminus\{1\}\\2 & \text{für } x=1\end{array}\right.$$

Wir berechnen den links- und den rechtsseitigen Grenzwert an der kritischen Stelle $1$:

$$\phantom{=}\lim\limits_{x\nearrow1}\left(x^2+\frac{|x-1|}{x-1}\right)=\lim\limits_{h\searrow0}\left((1-h)^2+\frac{|(1-h)-1|}{(1-h)-1}\right)$$$$=\lim\limits_{h\searrow0}\left((1-h)^2+\frac{h}{-h}\right)=\lim\limits_{h\searrow0}\left((1-h)^2-1\right)=0$$

$$\phantom{=}\lim\limits_{x\searrow1}\left(x^2+\frac{|x-1|}{x-1}\right)=\lim\limits_{h\searrow0}\left((1+h)^2+\frac{|(1+h)-1|}{(1+h)-1}\right)$$$$=\lim\limits_{h\searrow0}\left((1+h)^2+\frac{h}{h}\right)=\lim\limits_{h\searrow0}\left((1+h)^2+1\right)=2$$

Links- und rechtsseitiger Grenzwert sind ungleich, daher ist die Funktion bei $x=1$ nicht stetig.

Comments

Danach habe ich gesucht. Vielen Dank!

Answer 2

ABS(x - 1)/(x - 1) = ABS(z)/z = SIGN(z) = SIGN(x - 1) mit x ≠ 1 ; z ≠ 0

Also das kannst du zur Vorzeichenfunktion vereinfachen.

Nimm auch Tools wie Geogebra, um dafür ein Verständnis aufzubauen.

Comments

Aber müsste nicht per Definition lim x->x_0+ von f(x) = f(x_0) = lim x->x_0^+ von f(x)

also die Kurve f(1) = 2 sein? Das ist der Teil, der sich mir noch nicht ganz erschließt.

d.h. der linksseitige Grenzwert von x=1 ist demnach 0 und der rechtsseitige Grenzwert von x=1 ist 2 daher ist die Funktion nicht stetig. Ist dieser "Denkvorgang" richtig? Wäre es generell in Klausuren erlaubt dies durch graphische Deutung zu schlussfolgern?