Bestimme \mathrm{c} so, dass die Graphen zu den Funktionen mit den Gleichungen \mathrm{y}=4 …

Question

Text erkannt:

9. Bestimme $\mathrm{c}$ so, dass die Graphen zu den Funktionen mit den Gleichungen $\mathrm{y}=4 \cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{\mathrm{x}}$ und $\mathrm{y}=\left(\frac{1}{2}\right)^{\mathrm{x}+\mathrm{c}}$ übereinstimmen.

Text erkannt:

Die C-14-Methode Die Gesetzmäßigkeit des radioaktiven Zerfalls erlaubt es, näherungsweise das Alter
z.B. von historischen Knochen- und Holzfunden zu ermitteln. Verursacht durch die kosmische Strahlung wird in der Atmosphäre ständig das radioaktive Kohlenstoffisotop C-14 gebildet. Es stellt sich ein gleich bleibendes Verhältnis C$14: \mathrm{C}-12$ ein, welches etwa $1:\left(1,67 \cdot 10^{11}\right)$ beträgt. Die C-14-Isotope gelangen durch Fotosynthese in lebende Pflanzen und in Tiere durch die Aufnahme pflanzlicher Nahrung. Ihre Anzahl steht demzufolge dort im gleichen Verhältnis zu den C-12Isotopen wie in der Atmosphäre. Stirbt das Lebewesen, wird kein neues $\mathrm{C}-14$ aufgenommen; durch radioaktiven Zerfall sinkt die Anzahl $N$ der $\mathrm{C}-14$ -Isotope und damit auch der Anteil gegenüber den C-12-Isotopen. Die Verringerung der Anzahl $N$ erfolgt in Abhängigkeit von der Zeit $t$ exponentiell.
a) Bei einem 3560 Jahre alten Holzfund war der Anteil der C-14-Isotope auf $65 \%$ des anfänglich darin enthaltenen C-14-Anteils $N_{0}$ gesunken. Ermittle anhand dieser Angabe das Zerfallsgesetz von C-14 in Abhängigkeit von der Ausgangskonzentration $N_{0}$ und der Zeit $t$ sowie die Halbwertzeit von $\mathrm{C}-14 .$ Vergleiche mit einem Tabellenwert.
b) Stelle das Verhältnis C-14 : C-12 grafisch in Abhängigkeit von $t$ dar.
c) In einem Knochenfund beträgt das Verhältnis $\mathrm{C}-14: \mathrm{C}-12$ nur noch $1:\left(12 \cdot 10^{11}\right)$.
Ermittle näherungsweise das Alter des Knochenfunds.
d) Welches Verhältnis C-14 : C-12 ist in der Mumie Ramses II. († 1224 v. Chr.) zu erwarten?

Answer 1

a) Bei einem 3560 Jahre alten Holzfund war der Anteil der C-14-Isotope auf $65 \%$ des anfänglich darin enthaltenen C-14-Anteils $N_{0}$ gesunken.

Exponentielle Abnahme:

        $N(t) = N_0\cdot q^t$

Einsetzen von $N(t) = 65\%\cdot N_0$ und $t=3560$ liefert

        $65\%\cdot N_0 = N_0\cdot q^{3560}$.

Löse die Gleichung um $q$ zu bestimmen und setze oben ein. Außerdem ist

        $N_0 = \frac{1}{1,67 \cdot 10^{11}}$.

Halbwertszeit bekommst du indem du

        $\frac{1}{2}N_0 = N_0\cdot q^t$

löst.

c) In einem Knochenfund beträgt das Verhältnis $\mathrm{C}-14: \mathrm{C}-12$ nur noch $1:\left(12 \cdot 10^{11}\right)$.Ermittle näherungsweise das Alter des Knochenfunds.

Löse die Gleichung

        $\frac{1}{12 \cdot 10^{11}} = N_0\cdot q^t$,

natürlich nachdem du die Werte für $q$ und $N_0$ eingesetzt hast.

d) Welches Verhältnis C-14 : C-12 ist in der Mumie Ramses II. († 1224 v. Chr.) zu erwarten?

Setze den entsprechenden Wert für $t$ in die Gleichung

        $N(t) = N_0\cdot q^t$

ein, natürlich nachdem du die Werte für $q$ und $N_0$ eingesetzt hast.

Comments

Hallo Oswald, bei
N(t) / N0 = 0.65 = q³⁵⁶⁰
streikt mein Matheprogramm. Wieso ?
q = ?

---

Weil es ein schlechtes Matheprogramm ist. $q = 0{,}65^{\frac{1}{3560}}$

---

Oder es rechnet mit komplexen Zahl und ist von der Anzahl der Lösungen einfach überwältigt.

---

Nöh,
das Programm ist in Ordnung.
Ist wohl ein (sehr) seltener Fehler.
Nobody is perfect.

Answer 2

Aloha :)

$$4\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^x=2^2\left(\frac{1}{2}\right)^x=\left(\frac{1}{2}\right)^{-2}\left(\frac{1}{2}\right)^x=\left(\frac{1}{2}\right)^{x-2}\quad\implies\quad c=-2$$

Answer 3

n ( t ) = n0 * q ^(t) 
n ( t ) / n0 = q ^(t) 

n ( 3560 ) / n0 = q ^(3560) = 0.65
q ^(3560) = 0.65
q = 0.999879

n(t) =  0.999879 ^(t)

Probe
n(3560) = 0.999879 ³⁵⁶⁰ = 0.65 bingo

Halbwertzeit
n ( t ) / n0 = q ^(t)   = 0.5
q ^(t)  = 0.5
0.999879 ^(t)  = 0.5
t = 5728 Jahre ( Literatur 5730 )