Aloha :)
Wir suchen den Hochpunkt von$$f(x;y)=6x^2-3xy+3y^2+33x+18y+14$$
Kandidaten für Extrema finden wir dort, wo der Gradient verschwindet. Zur Bildung des Gradienten müssen wir \(f\) partiell nach \(x\) und nach \(y\) ableiten. Bei der partiellen Ableitung nach \(x\) behandelst du \(y\) einfach wie eine konstante Zahl. Bei der partiellen Ableitung nach \(y\) behandelst du \(x\) entsprechend wie eine konstante Zahl:$$\operatorname{grad}f(x;y)=\binom{\frac{\partial f}{\partial x}}{\frac{\partial f}{\partial y}}=\binom{12x-3y+33}{-3x+6y+18}\stackrel!=\binom{0}{0}$$Dieses Gleichungssystem hat die eindeutige Lösung \((x_0;y_0)=(-4;-5)\).
Damit gibt es genau einen Kandidaten für ein Extremum. Wir müssen noch prüfen, ob es sich tatsächlich um einen Hochpunkt handelt. Dafür brauchen wir die Hesse-Matrix, die aus den 2-ten partiellen Ableitungen zusammengebaut ist:
$$\frac{\partial^2f}{\partial x^2}=12\quad;\quad\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}=-3\quad;\quad\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}=-3\quad;\quad\frac{\partial^2f}{\partial x^2}=6$$Damit lautet die Hesse-Matrix:$$H(x;y)=\begin{pmatrix}12 & -3\\-3 & 6\end{pmatrix}$$Ihre Determinante ist \(12\cdot6-(-3)\cdot(-3)=63>0\). Da auch \(12>0\) ist, ist die Hesse-Matrix positiv definit. Es handelt sich bei dem Punkt \((x_0;y_0)=(-4;-5)\) also um einen Tiefpunkt.
