Ganzrationale Funktion dritten Grades zum Ursprung symmetrisch, Hochpunkt gegeben, Funktionsgleichung gesucht

Question

Moin!

Folgende Aufgabe bereitet mir Probleme:

Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades ist zum Ursprung symmetrisch. Sie hat in P(1, 1) einen Hochpunkt. Gesucht ist die Funktionsgleichung der Funktion!

Answer 1

Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades ist zum Ursprung symmetrisch. Sie hat in \(P(1, 1)\) einen Hochpunkt. Gesucht ist die Funktionsgleichung der Funktion!

Ursprung \(U(0|0\) symmetrisch: \(P_1(1|1)\) einen Hochpunkt. →\(P_2(-1| -1)\) einen Tiefpunkt.

Ich verschiebe den Graphen um 1 Einheit nach unten:

\(U´(0|-1)\) symmetrisch: \(P_1´(1|0)\) einen Hochpunkt. →\(P_2´(-1| -2)\) einen Tiefpunkt.

\(f(x)=a(x-1)^2(x-N)\)

\(U´(0|-1)\):

\(f(0)=a(0-1)^2(0-N)=-aN=-1\)→\(a=\frac{1}{N}\)

\(f(x)=\frac{1}{N}(x-1)^2(x-N)\)

\(P_2´(-1| -2)\)

\(f(-1)=\frac{1}{N}(-1-1)^2(-1-N)=\frac{4}{N}(-1-N)=-2\)

\(\frac{2}{N}(1+N)=1\)→  \(N=-2\)       \(a=-\frac{1}{2}\)

\(f(x)=-\frac{1}{2}(x-1)^2(x+2)\)

um 1 Einheit nach oben:

\(p(x)=-\frac{1}{2}(x-1)^2(x+2)+1\)

Answer 2

Eine ganzrationale Funktion 3. Grades, die zum Ursprung symmetrisch ist hat die Gleichung f(x)=ax³+bx mit der Ableitung f'(x)=3ax²+b.

f(1)=1 heißt  (1)  a+b=1.

f'(1)=0 heißt  (2) 0=3a+b.

zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten lösen und die Ergebnisse in den Ansatz einsetzen.

Comments

Ah vielen dank! Die Gleichung war mir so nicht bewusst, den Rest schaff ich dann auch. :)

Answer 3

Ansatz:

f(x)=ax^3+bx

f'(x)=3ax^2+b

Hochpunkt bei P(1|1):

f'(1)=0

3a+b=0

f(1)=1

a+b=1

Das ist dein LGS mit den Lösungen:

a=-0.5 ∧ b=3/2