Anzahlt Elemente eines Körpers bestimmen

Question

Wir sollen zeigen, dass unter der Vorgabe K=ℤ/pℤ mit p=Primzahl und g∈K[t] = irreduzibles Polynom

K[t]/gK[t] ein Körper mit p^deg(g) Elementen ist.

Wie zeige ich dies?

Comments

wie sehen denn die Elemente dieser Menge aus?

---

Polynome? Oder was meinst Du? 0,1, t, t+1 etc. pp?

---

Die Elemente sind Restklassen [f] = { g*h + f | h in K[x] }. Diese Restklassen enthalten ein ausgezeichnetes Element, nämlich das mit kleinstem Grad. Was kann man über diesen kleinsten Grad im Bezug auf deg(g) sagen? Denk mal an Polynomdivision mit Rest von f durch g.

---

g ist irreduzibel, also bleibt der grad g bei einer Division mit Rest über? wäre g reduzibel, so könnte man g noch in weitere faktoren zerlegen und erhielte somit grad< g?