a) Die Inverse ist eindeutig:
$$-a+(-(-a))=0_K=-a+a$$
(-(-a)) ist ja die additive Inverse von (-a), gleichzeitig ist (-a) die Inverse von a. Also sind beide Terme gleich dem Nullelement.
$$-a+(-(-a))=-a+a \Leftrightarrow (-(-a))=a$$
nach der Kürzungsregel, (K, +) ist ja schließlich eine Gruppe.
b) Minus mal minus ergibt plus:
$$(-a)\cdot (-b)+a\cdot(-b)=(-a+a)\cdot b=0\cdot b=0$$
Hier wird \(0\cdot b=0\) verwendet, was aus \(0=0\cdot b-(0\cdot b)=(0+0)\cdot b-(0\cdot b)=0\cdot b\) folgt.
Also: \((-a)\cdot(-b)=-(a\cdot(-b)).\)
$$-(a\cdot(-b))-(a\cdot b)=-(a\cdot(-b)+a\cdot b)=-(a\cdot(-b+b))=-(a\cdot 0)=-0=-0+0=0.$$
Zum Beweis der ersten Gleichheit kann man einfach beide Seiten mit \(a\cdot(-b)+a\cdot b\) erweitern.
c) Natürliche Addition von Brüchen:
$$\frac ab + \frac cd = \frac{ad+bc}{bd}.$$
$$\frac ab + \frac cd = ab^{-1}+cd^{-1}=ab^{-1}dd^{-1}+cd^{-1}bb^{-1}=(ad+bc)\cdot b^{-1}d^{-1}=\frac{ad+bc}{bd}.$$
d) Doppellösung von quadratischen Gleichungen:
\("\Leftarrow"\colon\) Sei \(a=b\), dann folgt sofort: \(a^2=a\cdot a=b\cdot b=b^2\).
Sei \(a=-b\), dann folgt mithilfe von b): \(a^2=a\cdot a=(-b)\cdot (-b)=b\cdot b= b^2\).
\("\Rightarrow"\colon\) Sei \(a^2=b^2\), dann ist \(a^2-b^2=0\). Mittels binomischer Formel ergibt sich:
$$a^2-b^2=(a+b)\cdot (a-b)=0. \Leftrightarrow (a-b)=(a+b)^{-1}\cdot 0=0 \vee (a+b)=(a-b)^{-1}\cdot 0=0 \Leftrightarrow a-b=0 \vee a+b=0 \Leftrightarrow a=b \vee a=-b.$$
e) Null hat kein multiplikatives Inverses:
$$0\cdot 0 = 0 = 1 \cdot 0.$$
Gäbe es ein multiplikatives Inverses, könnten wir hier \(0^{-1}\) anwenden:
$$0\cdot 0\cdot 0^{-1}=1\cdot0\cdot0^{-1} \Leftrightarrow 0=1.$$
Widerspruch, da 1 das neutrale Element von \(K\setminus\{0\}\) sein muss, also insbesondere \(1\in K\setminus \{0\}\), also \(1\neq0\)!
