Beispiele V sind R -Vektorraum?, und wenn ja, wie lautet die Dimension von den V?

Question

Aufgabe

Ist \( V \) ein \( \mathbb{R} \) -Vektorraum, und wenn ja, wie lautet die Dimension von \( V \) ?

\( \mathbb{R} \) -Vektorraum \( \quad \)
\( \begin{array}{ll}\text { (a) } V=\text { Pol }_{6} \mathbb{R} & \square \text { ja } \square \text { nein. }\end{array} \)
(b) \( V=\left\{p \in \operatorname{Pol}_{6} \mathbb{R} \mid p(0)=1\right\} \quad \square \) ja \(  \) nein,
(c) \( V=\left\{\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{2 \times 2} \mid a=b=0\right\} \square \) ja \( \square \) nein,
(d) \( V=\left\{\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{2 \times 2} \mid a+d=0\right\} \square \) ja \( \square \) nein,

Problem/Ansatz:

Erstmal; was ist eigentlich der R-Vektorraum? zählt dazu alles mit R, also würde R² auch dazu gehören?  Weil ich denke R eindimensional ist ja nicht das gleiche wie R zweidimensional, oder ist das egal?

a) habe ich, dass es ein R-Vektorraum ist und Dimension ist 7

b)habe, dass es kein R-Vektorraum ist, weil der 0-Vektor fehlt und weil kein Vektorraum keine Dimension?

c)war ich mir nicht sicher, ob R-Vektorraum, weil R² .Dimension =1, weil die Matrix nur einen Lin.unab. Vektor hat

d)Bedenken wie bei c) . Die Spur ist 0. Weiß nicht was das mir über die Dimension aussagt. Dimension ?

Answer 1

Hallo

 1. ein R vektorraum ist einer , bei dem die Skalare aus R kommen,

a)wenn ihr Pol₆ als Menge der Polynom vom Grad <=5 definiert habt, ja

b) richtig kein VR

c) ist VR aber dim =2, denn  c,b kannst du z-B 1,0 und o,1 wählen und hast dann 2 Lin unabhängige Zeilen (auch gleich ne Basis)

d) ist VR dim 3, da nur eine Bedingung, Summe von 2 wieder a+d=0 Produkt mit r wieder a+d=0  (auch hier kannst du  leicht eine Basis angeben )

Gruß lul

Comments

Danke dir lul,

Bei der a) steht leider nichts genaueres zum Grad. Ich bin mir auch mit der Notation nicht ganz sicher. Wenn es kleiner gleich grad 5 ist. Ist die Dimension dann nicht 6 statt 7? Weil es sind ja 6 Polynome. Also kann man das einfach direkt ablesen, weil pol6 sagt uns ja , dass es 6 Polynome sind. Mehr muss ich ja nicht wissen, oder.

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C) sie würde dann einen 0Vektor erhalten. Nur zum Verständnis; darf eine Basis einen 0 Vektor haben?

D) ich hin etwas verwirrt. Kann eine 2x2 Matrix nicht max. Die Dimension 2 haben. Weil nur max. 2 Vektoren Lin. Unabhängig sein können?

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Hallo

ich denke Pol6 bedeutet  wohl Polynom vom Grad <=6 ich hatte mich mit der 5 vertippt. dann ist die dim=7 weil ja auch P=a*x^0 dazu gehört.

Ein Nullvektor gehört zu jedem K VR da mit v auch immer k*v zum VR gehört und es in jedem Körper ein k=0 gibt. du kannst auch sagen mit v gehört auch v-v=0 zum VR

Eine 2 mal 2 Matrix hat doch bis zu 4 mögliche unabhängige Einträge, es geht NICHT um den VR der Spalten oder Zeilenvektoren, sondern um den der Matrices. eine Basis ist z.b. wenn du an einer der 4 Plätze eine 1 stellst, die anderen 0, das gibt 4 Basisvektoren.

Gruß lul

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ah danke, da habe ich wohl etwas durcheinander gebracht.

Wie würde hier denn die Basis aussehen?

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Hallo

ich denke, die sollst du dir selbst ausdenken, a und d= 0 oder a=-d in der Basis 1 und -1,  und b, c mal 0 mal 1. also 3 Basisvektoren.

lul

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Könnte ich auch b,c =0 machen, dann bräuchte ich auch nur 2 Basis Matrizen?

\( \left.\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)=a \cdot\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right)+b\left(\begin{array}{cc}0 & 0 \\ 0 & -1\end{array}\right)+c \begin{array}{ll}0 & 0 \\ 1 & 0\end{array}\right) \)

bzw. mit d

3 Basen

\( \left(\begin{array}{ll}a & 0 \\ 0 & 6\end{array}\right)=a\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right)+b\left(\begin{array}{cc}0 & 0 \\ 0 & -1\end{array}\right) \)

2 Basen

Geht das so nicht?

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Zusatz dazu: Ist der Grund dafür weshalb es nicht geht, dass c,b nicht gleich sein dürfen, weil das ja zwei verschiedene Variablen sind. Also c,b =0 ist nicht möglich?

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Hallo

es muss doch immer a+d=0 , also in der Hauptdiageonalen steht 0 und 0 oder 1 und -1

das sind 2 Basen dazu kommen noch 1 für b oder 1 für c, am einfachsten bei der Hauptdiaginale 0 also 3 Basen.  deine 2 Basen sind falsch , ebenso deine 3 weil in der Basis ja auch immer a+d=0 gelten muss.

lul

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Danke nochmal für die Erläuterung.

Wieso ist bei c) die Dimension dann nicht 1,weil man bräuchte nur eine Basis um c bzw. d als 1 darzustellen.

a=b=0 und irgendeins von beiden c oder d auch =0.

Vielleicht habe ich noch einen Denkfehler?