Sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum, und H1 ≠ H2 zwei Untervektorräume von Dimension dim (Hi) = n − 1.

Question

Aufgabe:

Sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum, und H₁ ≠ H₂ zwei Untervektorräume von Dimension dim (H_i) = n − 1. Zeigen Sie mit der Dimensionsformel, dass  dim (H1 ∩ H2) = n − 2 gilt.

Geben Sie dafür ein explizites Beispiel im Anschauungsraum V = R³.

Answer 1

Ok ich habe auch ein Problem mit dieser Frage, wobei sie wohl sehr einfach zu beantworten ist. Hier meinen Ansatz:

Dim(u+w)=dim(u)+dim(w)-dim(u∩w)

gegeben: dim(hi)=n-1

einsetzen:

dim(h1+h2)=dim(h1)+dim(h2)-dim(h1∩h2)

(n-1)+(n-1)=(n-1)+n-1)-dim((n-1)∩(n-1))
2n-2=(2n-2)-(n-1)

Ab hier sehe ich schon dass es einen Fehler gibt.  Wie soll der Schnitt der beiden Dimensionen auf n-2 kommen?
Das geht ja nur, wenn 2n-2=(3n-4)-(n-2) gilt, damit das passt. Bin ich gerade zu blöd dafür?

Comments

Ok, hat sich erledigt, habe zT falsche Schlüsse gezogen^^

Answer 2

Hallo

nimm ne Basis von H1 und eine von H2 sie müssen sich in wenigstens einem Vektor unterscheiden.

im R3 2 Ebenen durch 0 sind 2 d uVr der Schnitt ist eine gerade durch0

Gruß lul

Answer 3

Bedenke, dass es in einen n dimensionalen Vektorraum maximal n linear unabhängige Vektoren geben kann und nehme an, dass

dim (H1 ∩ H2) < n-2 gilt.

Answer 4

Hallo

 hast du die Dimensionsformel aufgeschrieben?  dann folgt es fast unmittelbar.

2. in R^3 Hi sind Ebenen durch 0 , was ist der Schnitt?warum bist du da sicher, im R^n sind die Hi Hyperebenen.

Gruß lul

Comments

Ok ich habe auch ein Problem mit dieser Frage, wobei sie wohl sehr einfach zu beantworten ist. Hier meinen Ansatz:

Dim(u+w)=dim(u)+dim(w)-dim(u∩w)

gegeben: dim(hi)=n-1

einsetzen:

dim(h1+h2)=dim(h1)+dim(h2)-dim(h1∩h2)

(n-1)+(n-1)=(n-1)+n-1)-dim((n-1)∩(n-1))
2n-2=(2n-2)-(n-1)

Ab hier sehe ich schon dass es einen Fehler gibt.  Wie soll der Schnitt der beiden Dimensionen auf n-2 kommen?
Das geht ja nur, wenn 2n-2=(3n-4)-(n-2) gilt, damit das passt. Bin ich gerade zu blöd dafür?